Уравнение плоской механической волны

Под уравнением волны понимают уравнение, определяющее смещение x от положения равновесия точек среды, находящихся на произвольном расстоянии от источника колебаний в любой момент времени.

Запишем уравнение плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Оx [3]. Пусть источник находится в начале координат (рис. 2.19) и совершает колебания по закону:

x(0, t) = A cosw t. (2.69)

Благодаря упругой связи между частицами среды спустя некоторое время в колебательное движение вступит и произвольная точка М среды, находящаяся на расстоянии x от источника колебаний. Причем, если среда не поглощает энергию (или поглощением энергии средой можно пренебречь), то точка М будет совершать колебания с той же частотой и амплитудой, что и источник.

Рис. 2.19

Но так как волне нужно время, чтобы пройти это расстояние x, то колебания точки М будут отставать по фазе от колебаний в источнике.

, (2.70)

где – время, необходимое для того, чтобы волна от источника дошла до точки М.

С учетом этого

. (2.71)

Уравнение (2.71) является уравнением плоской монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Ох.

Для плоской монохроматической волны, распространяющейся в отрицательном направлении оси Ох, уравнение волны примет вид:

. (2.72)

С помощью уравнения волны (2.71) можно построить два различных графика:

1) «моментальная фотография» волны – зависимость смещения точек среды в данный момент времени от их координат (рис. 2.20, а);

2) «временная развертка» – зависимость смещения конкретной точки среды от времени (рис. 2.20, б).

Рис. 2.20

С помощью уравнений (2.71) и (2.72), можно найти скорость и ускорение частиц среды, в которой распространяется волна, в любой момент времени:

, (2.73)

. (2.74)

Выбор знака перед вторым слагаемым в скобках, определяется направлением распространения плоской волны: знак «–» ставится если волна распространяется в положительном направлении оси Ох, и знак «+» – если в отрицательном направлении оси Ох.

Волновое уравнение

Уравнения (2.71), (2.72) плоской волны, распространяющейся в положительном (отрицательном) направлении оси Ох являются решениями дифференциального уравнения второго порядка, называемого волновым:

. (2.75)

Если плоская гармоническая волна распространяется в произвольном направлении, которое можно задать радиус-вектором ,то ее волновое уравнение и уравнение волны запишутся, соответственно, следующим образом