Электростатическое экранирование

Если мы поместим пробный точечный заряд в состоянии покоя внутрь металла, то электронная концентрация вблизи этого заряда испытает возмущение, в результате которого электрическое поле заряда окажется в значительной мере скомпенсированным полем, индуцированным нарушением однородности электронной концентрации. В этом случае говорят, что пробный заряд экранируется электронным газом. Для описания этого явления вводится характеристика, именуемая длиной экранирования; на расстояниях, меньших этой длины, экранирование эффективно не проявляется, а на больших расстояниях становится все более и более полным.

Приближенное описание электростатического экранирования можно осуществить с помощью уравнения Пуассона:

, (3.16)

где - электростатический потенциал; - характеризует отклонение концентрации электронов от однородного распределения.

Можно составить другое уравнение, связывающее электростатический потенциал с концентрацией электронов, исходя из того, что электрохимический потенциал электронного газа при равновесии должен сохранять постоянную величину независимо от положения. В той части образца, где электростатический потенциал отсутствует, электрохимический потенциал связан с однородной концентрацией (при абсолютном нуле) соотношением

. (3.17)

А в той области образца, где электростатический потенциал равен , для электрохимического потенциала имеем:

. (3.18)

Это выражение для электрохимического потенциала является приближенным (приближение Томаса-Ферми); оно должно быть справедливым и для электростатического потенциала, когда последний мало изменяется на расстояниях порядка длины волны электрона. Если электрохимический потенциал сохраняет свою величину при изменении электростатического потенциала, мы должны иметь (рис. 3.4):

. (3.19)

Рис. 3.4. Схема, иллюстрирующая постоянство электрохимического потенциала.

При разложении (3.19) в ряд Тейлора получим:

. (3.20)

С учетом того, что можно переписать (3.20) в виде

. (3.21)

Подставляя (3.21) в уравнение Пуассона, получим:

, (3.22)

где

. (3.23)

Мы ищем потенциал, обладающий сферической симметрией; такие потенциалы являются решениями уравнения

, (3.24)

где левая часть уравнения (3.24) есть радиальная часть оператора в сферических координатах. Искомый потенциал, удовлетворяющий (3.24), имеет вид

. (3.25)

Потенциал (3.25) называют экранированным кулоновским потенциалом. Длина экранирования определяется как величина, обратная постоянной . Например, в меди концентрация электронов равна , а длина экранирования 1/ = 0,55 . На рис. 3.5 приведено сравнение экранированного и неэкранированного кулоновских потенциалов для единичного положительного заряда.