Электрон-электронные столкновения

В металле электроны проводимости находятся на расстоянии 1-3  друг относительно друга, проходят расстояния от (при комнатной температуре)  до 10 см (при 1 ) не сталкиваясь. Столь большой пробег обусловлен двумя обстоятельствами. Первое – принцип Паули (рис. 3.6) второе – экранирование кулоновского взаимодействия.

Рис. 3.6. Схема столкновения двух электронов с волновыми векторами . После столкновения электроны имеют волновые векторы . Принцип Паули допускает лишь такие столкновения, в которых конечные состояния были бы до столкновения вакантными.

Оценим влияние принципа Паули в случае двухчастичного столкновения (рис. 3.7):

1+2 → 3+4.

Эта схема описывает столкновение электрона в возбужденном состоянии 1 с электроном в состоянии 2 внутри сферы Ферми. Удобно отсчитывать энергию от уровня Ферми , приняв его за нулевой. Тогда  будет положительной, а  - отрицательной величиной. Согласно принципу Паули состояния 3 и 4 электронов после столкновения должны находиться вне сферы Ферми, поскольку все состояния внутри сферы уже заняты. Следовательно, энергии  и  должны быть положительными (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Пояснение процесса столкновения двух электронов.

Закон сохранения энергии требует, чтобы , так как в противном случае условие  (где обе стороны положительны) не может быть выполнено. Это означает, что столкновения возможны в том случае, если состояние 2 лежит внутри слоя толщиной  внутри поверхности Ферми. Подходящей мишенью для электрона 1 является не любой электрон, а лишь электрон из заполненного слоя, в котором число электронов составляет долю  всего их числа. Даже если электрон-мишень 2 находится в нужном слое, лишь небольшая часть конечных состояний совместима с законами сохранения энергии и импульса и допустима по принципу Паули. Это обстоятельство еще уменьшает допустимое количество на множитель . На рис. 3.7 показана малая сфера, на поверхности которой все пары состояний 3, 4 на противоположных концах диаметра удовлетворяют требованиям закона сохранения, но столкновения возможны только такие, в результате которых оба состояния 3, 4 оказываются вне сферы Ферми. В результате понижающий множитель равен . Множитель  и есть фактор, характеризующий уменьшение частоты столкновений, вызванного влиянием принципа Паули.

Если  порядка , то уменьшение частоты электрон-электронных столкновений относительно классической величины будет характеризоваться множителем , а для эффективного сечения столкновений получим выражение

,                                       (3.26)

где - сечение для экранирования кулоновского взаимодействия. Взаимодействие одного электрона с другим имеет порядок длины экранирования . Численные расчеты показывают, что эффективное сечение столкновения между электронами с учетом экранирования порядка . Однако наибольшее уменьшение связано с влиянием принципа Паули .

При комнатной температуре , а следовательно . Средняя длина свободного пробега при комнатной температуре для электрон-электронных столкновений равна по порядку величины  (). Эта величина на порядок больше, чем средняя длина свободного пробега для электрон-фононного взаимодействия при комнатной температуре. Это значит, что электроны сталкиваются преимущественно с фононами.

Таким образом, принцип Паули дает ответ на один из центральных вопросов теории металлов: почему электроны проходят в металле такие большие расстояния, не сталкиваясь между собой.