Изучение нового материала

Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле                  (1)

где  и  - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью формулы (1) отыскание интеграла сводится к нахождению другого интеграла , её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом в качестве  берется функция, которая при дифференцировании упрощается, а в качестве  - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Так при нахождении интегралов вида

за  следует принять многочлен , а за - соответственно выражения , ; при отыскании интегралов вида

за  принимаются соответственно функции , а за  - выражение .

Примеры.

1.

. Положим  = lnx,  = , откуда

du = , v =

Тогда по формуле (1) находим

 = lnx(  = -  +  = -  -  + С

2.

Решение. Полагая  =  = найдем du = ,

v =  =

Следовательно,

 = =

3.

Решение. Пусть  = ,  = du = , v =

По формуле (1) находим

 =  -             (

К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

Положим  = ,  = du = , v =  и, следовательно,  -  =

Подставляя найденное выражение в соотношение (, получим

 = (

 

4.

Положим  =  =  , откуда du =  , v =

Используя формулу (1), находим

 =

 =  - х +

5.

Решение. Пусть  = ; тогда du = - v = -

Согласно формуле (1) имеем

I =  = = - .                (

К последнему интегралу снова применяем интегрирование по частям. Полагая  = , находим du = - v = и, следовательно,  =

Подставляя полученное выражение в соотношение ( приходим к уравнению с неизвестным интегралом I:

I = = - -  – I,

Из которого находим

I = -  (

Практическая часть.

Вычислите интегралы, используя метод интегрирования по частям:

1.

2.

3.

4.

5.

Плюс учебник стр. 175 № 6.21(а, б), № 6.22(а,в).

     5. Итог. Д/З.

№ 6.21(в,г), 6.22(б,г) стр. 175.