II. Средние показатели

Средним показателем (средней величиной) называется обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего количествен­ного признака на единицу совокупности в определенных усло­виях места и времени.

В статистических и расчетах при­меняются преимущественно две категории средних:

- степенные средние;

- структурные средние.

К категории степенных средних относятся: средняя ариф­метическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.

Средняя арифметическая и средняя гармоническая наи­более распространенные виды средних величин, получившие широкое применение в плановых расчетах, при расчете общей средней и средних групповых, а также при выявлении взаимосвязи между признаками с помощью группировок. Выбор средней арифмети­ческой и средней гармонической определяется характером име­ющейся в распоряжении исследователя информации.

Средняя квадратическая применяется для расчета средне­го квадратического отклонения (а), являющегося показателем вариации признаков.

Средняя геометрическая (простая) используется при вычис­лении среднего коэффициента роста (темпа) в рядах динамики.

Структурные средние – это мода и медиана. В отличие от сте­пенных средних, которые в значительной степени являются аб­страктной характеристикой совокупности, и выступают как конк­ретные величины, совпадающие с вполне определенными вари­антами совокупности. Это делает их незаменимыми при реше­нии ряда практических задач.

Модой (Мо) называется значение признака, которое наиболее час­то встречается в совокупности (в статистическом ряду).

Медианой (Ме) называется значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Преимущество средних величин заключается в том, что она практически одним числом характеризует всю совокупность по конкретному признаку. Средние необходимы потому, что без них ускользает обобщающая характеристика всей совокупности в целом.

Из всех средних величин в ветеринарной статистике широкое применение получила средняя арифметическая (). Такой способ обозначения указывает на происхождение средней из конкретных величин. Черта символизирует процесс осреднения индивидуальных значений.

Объективность и типичность полученной статистической средней может быть обес­печена лишь при определенных условиях.

Первое условие - средняя должна вычисляться для качественно однородной со­вокупности. Для получения однородной совокупности необхо­дима группировка данных, поэтому расчет средней должен со­четаться с методом группировок.

Второе условие - для исчисле­ния средних должны быть использованы массовые данные. В средней величине, исчисленной на основе данных о большом числе единиц (массовых данных), колебания в величине при­знака, вызванные случайными причинами, погашаются и прояв­ляется общее свойство (типичный размер признака) для всей совокупности.

Средняя величина всегда именованная, она имеет ту же раз­мерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

При использовании средних в практической работе и науч­ных исследованиях необходимо иметь в виду, что за средним показателем скрываются особенности различных частей изуча­емой совокупности, поэтому общие средние для однородной совокупности должны дополняться групповыми средними, харак­теризующими части совокупности.

Пример. Необходимо изучить число вынужденного забоя животных по причине инфекционных заболеваний за какой-то период.

Решение. Составим таблицу (табл. 7), в которой отразим количество вынужденно убитых животных (1 графа) и число случаев соответствующих инфекционных заболеваний, графа 2).

Таблица 7

Кол-во вынужденно убитых животных (Х)	Число заболеваний (Р)	Х · Р
3	5	15
4	11	44
5	15	75
6	20	120
7	15	105
8	11	88
9	5	45
Итого	82	492

 

Только после перемножения количества вынужденно убитых на число случаев инфекционных заболеваний (Х·Р) и суммирования этих произведений с последующим делением результата на сумму случаев заболеваний определяется среднее число вынужденно убитых животных в хозяйстве по причине инфекционных заболеваний:

 

 = ∑(Х·Р)/n = 492/82 = 6 голов

 

Однако, в тех случаях, когда разброс индивидуальных значений будет большим, то всю картину одной только средней арифметической выразить невозможно. В этом случае необходимо использовать показатель колеблемости, который устанавливают путем определения средней квадратической. Этот показатель используется для расчета средне­го квадратического отклонения (σ), являющегося показателем вариации признаков.

В нашем примере расчет величины среднего квадратического отклонения будет включать следующие этапы:

1) определение отклонения показатели от среднего (Х – );

2) затем для того, чтобы избавиться от знаков, возводим эту разницу в квадрат (Х – )²;

3) умножаем полученное значение на величину показателя (Х – )² · Р.

 

Для удобства иллюстрации проводимых расчетов оформим все вычисления в виде таблицы (табл. 8).

Таблица 8

 

Кол-во вынужденно убитых животных (Х)	Число случаев (Р)	Х · Р	Х-	(Х- )2	(Х- )2 · Р
3	5	15	-3	9	45
4	11	44	-2	4	44
5	15	75	-1	1	15
6	20	120	0	0	0
7	15	105	+1	1	15
8	11	88	+2	4	44
9	5	45	+3	9	45
Итого	82	492			208

 

После этого найдем величину среднего квадратического отклонения (σ) при помощи формулы:

 

σ = √[Σ(х-х¯)² · Р] / n

 

Подставив в эту формулу полученные нами значения найдем, что среднее квадратическое отклонение составляет 1,59.

 

σ = √208/82 = 1,59 (головы)

 

Полученные средняя (Хср.) и среднее квадратичное отклонение (σ) могут использоваться для:

- индивидуальной оценки каждого отдельного наблюдения изучаемой совокупности;

- для оценки точности, надежности самой средней арифметической.

 

Подавляющая часть явлений и процессов подчинены закону нормального распределения (рис. 1), когда большинство значений укладывается в пределах

   + 2σ. Если же большая часть полученных значений в этот интервал не укладывается, то это означает, что нарушено правило однородности.

Кривая показывает, что при возрастании величины признака число повторений возрастает до определенного предела, а потом опять убывает.

 

-3σ -2σ          -1σ           Х          + 1σ             +2σ  +3σ

 

Рис. 1 - Кривая нормального распределения

 

В нормальной кривой в пределах средней величины и плюс-минус одна сигма должны укладываться большинство наблюдений (68,3% всех наблюдений). То есть, если значение показателя укладывается в пределах Х + 1σ, то этот показатель мы можем оценивать, как нормальный. То есть:

-    + σ → 68,3% - норма;

-    + 2σ → 95,4% - отклонение от нормы (выше и ниже нормы);

-    + 3σ → 99,7% - крайне высокие и крайне низкие показатели.

 

Пример. Для оценки степени влияния факторов среды и уровня содержания животных в стойловый период во время проведения ветеринарного осмотра можно составить следующую таблицу (табл. 9). Сопоставляя результаты, полученные из данных ветеринарных обследований, и сравнивая их с исходными можно судить о влиянии условий содержания на животных.

Таблица 9