I. Биномиальное распределение

Биномиальным называется закон распределения дискретной случайной величины X- числа появлений события A в n независимых повторных испытаниях, в каждом из которых события А может наступить с вероятностью р или не наступить с вероятностью q=1-p. Тогда Р(Х=m)-вероятность появления события А ровно m раз в n испытаниях вычисляется по формуле Бернулли:

P(X=m)=

	0	1	2	…	k	…
				…		…

 

Математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной по бинарному закону, находят, соответственно, по формулам:

M(X)=np,

D(X)=npq,

Если число испытаний n очень велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (р<0,1), то для вычисления Р(Х=m) используют формулу Пуассона:

P(X=m)=P_n(m)=  где λ,=np

Тогда говорят, что случайная величина X - распределена по закону Пуассона.

Так как вероятность р события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона называется законом средних явлений.

Пример: Составить закон распределения случайной величины Х-числа выпадений пятерки при трех бросаниях игральной кости. Вычислить M(X),D(X), (Х) этой величины.

Решение: Испытание состоит в одном бросании игральной кости. Так как кость бросается 3 раза, то число испытаний n=3.

Вероятность события А - «выпадение пятерки» в каждом испытании одна и та же и равна 1/6, т.е. Р(А)=р=1/6, тогда =l-p=q=5/6, где

 - «выпадения не пятерки».

Случайная величина X может принимать значения: 0;1;2;3.

Вероятность каждого из возможных значений X найдем по формуле Бернулли:

Р(Х=0)= (0)=  =1 *(1/6)⁰*(5/6)³=125/216;

Р(Х=1)= (1)=  =3 *(1/6)¹*(5/6)²=75/216;

P(X=2)=P₃(2)=  =3 *(1/6)²*(5/6)¹=15/216;

P(X=3)=P₃(3)=  =1 *(1/6)³*(5/6)⁰=1/216;

T.o. закон распределения случайной величины X имеет вид:

X	0	1	2	3
р	125/216	75/216	15/216	1/216

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Найдем числовые характеристики случайной величины X:

M(X)=np=3*(1/6)=1/2

D(X)=npq=3*(1/6)*(5/6)=5/12

Пример: Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной равна 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 отобранных деталей окажется:

а) 5 бракованных;

б) хотя бы одна бракованная.

Решение: Число n= 1000 велико, вероятность изготовления бракованной детали р=0,002 мала, и рассматриваемые события (деталь окажется бракованной) независимы, поэтому имеет место формула Пуассона:

Найдем λ=np=1000*0.002=2

А)Найдем вероятность того, что будет 5 бракованных деталей (m=5):

Б)Найдем вероятность того, что, будет хотя бы одна бракованная деталь.

Событие А - «хотя бы одна из отобранных деталей бракованная» является противоположным событию  - «все отобранные детали не бракованные».Следовательно, Р(А)=1-Р(). Отсюда искомая вероятность равна: Р(А)=1-Р₁₀₀₀ (0)=1- =1-0,13534=0,865.