double arrow

Решение системы линейных уравнений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИя И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

 «РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А.Н. Косыгина (ТЕХНОЛОГИИ. ДИЗАЙН. ИСКУССТВО)»

(ФГБОУ ВО «РГУ им. А.Н. Косыгина»)

 

 

  Для направления подготовки 29.03.02 Технологии и проектирование текстильных изделий

 

Теория алгоритмов и методы обработки данных при проектировании текстильных материалов

 

Методические указания к лабораторным работам

 

Составитель: Сухарев В.В.

 

Москва

РГУ им. А.Н. Косыгина 2018

УДК 003.023

С 91

 

С91 Теория алгоритмов и методы обработки данных при проектировании текстильных материалов: методические указания к лабораторным работам. /Сост. Сухарев В.В. – М.:РГУ им. А.Н. Косыгина, 2018. – 32 с.

 

Рецензенты:

Монахов В.И. – канд. техн. наук, проф., ФГБОУ ВО «РГУ им. А.Н. Косыгина»;

Стрельников Б.А. – канд. техн. наук, доц., ФГБОУ ВО «РГУ им. А.Н. Косыгина»

 

Методические указания предназначены для обучающихся по направлению подготовки 29.03.02 Технологии и проектирование текстильных изделий при изучении дисциплины «Информационные технологии при проектировании текстильных изделий».

В методических указаниях рассматриваются практические аспекты обработки электронных таблиц Microsoft Excel, используемые в учебном процессе.

Методические указания включают рассмотрение наиболее часто встречающихся задач и проработку отдельных вопросов работы с электронными таблицами.

 

УДК 003.023

 

Подготовлено к печати на кафедре Автоматизированные системы обработки информации и управления

 

Печатается в авторской редакции

 

  © РГУ им. А.Н. Косыгина, 2018
  © Сухарев В.В., 2018


Расчет значения суммы без НДС при указанных сумме с включенной НДС и ставки НДС

 

Постановка задачи:

Требуется определить значение суммы НДС, если указана ставка НДС и сумма с НДС. Формула должна быть общая для всех строк колонки.

Пример таблицы приведен на рис. 1

A

B

C

1

Сумма без НДС

Ставка НДС,%

Сумма с НДС

2

1000

18

Х

3

2500

10

Х

4

7000

18

Х

 

Рисунок 1

При обратном расчете для первой строки Х плюс указанное в столбце «Ставка НДС, %» значение должно быть равно значению, приведенному в столбе «Сумма с НДС».

Для решения задачи нужно определить формулу, по которой будет рассчитываться значение Х

Выразим сумму с НДС с использованием Х и ставки процента, при этом сумму с НДС обозначим через S. В качестве примера рассмотрим расчет для первой строки

X + 18%X = S

Переведя значение величины процентов в доли единицы, получим

Х + 18/100 * Х = S

Х*(1 + 18/100) = S

Откуда Х = S / (1+18/100)

 

Теперь подставим в формулу не конкретное значение величины процентов, а общее, выразив его через Р

Х = S / (1+Р/100)

Запишем данную формулу в ячейку С2, подставляя вместо буквенных обозначений переменных адреса соответствующих ячеек

= А2/(1+В2/100)

При копировании формулы в нижние ячейки таблица примет вид, указанных на рисунке 2:

A

B

C

1

Сумма без НДС

Ставка НДС,%

Сумма с НДС

2

1000

18

847,46

3

2500

10

2 272,73

4

7000

18

5 932,20

Рисунок 2

 

 

Расчет сложных процентов (процент на процент)

 

Требуется при расчете процентов по банковскому вкладу с капитализацией процентов. В этом случае проценты, начисленные за истекший период, прибавляются к сумме вклада и дальнейшее начисление ведется уже на увеличенную сумму.

Данный способ является альтернативным к способу начисления процентов в конце суммы вклада, при котором заданная величина процентов прибавляется к итоговой сумме по истечению периода вклада и вычисление которых не вызывает затруднений.

Для решения данной задачи сперва необходимо определить, в каком виде требуется получить решение. Возможны следующие варианты:

- таблица с промежуточными результатами за каждый промежуточный период

- конечная цифра без промежуточных результатов.

Конечно, независимо от выбранного способа конечный результат должен совпадать.

Рассмотрим сначала первый вариант, с выводом промежуточных результатов.

При проведении расчетов нужно учитывать, что процентная ставка указывается обычно в процентах за год, в начисления процентов происходят ежемесячно, поэтому начисленная сумма должна делиться на 12 (число месяцев в году). Кроме того, начисления за каждый новый период должны осуществляться не на стартовую сумму, а на ту сумму, которая получилась после начисления процентов в прошлом периоде.

Итоговая таблица будет иметь вид, представленный на рисунке 3.

A

B

C

D

1

Вычисление с использованием таблицы

2 № периода Начальная сумма Начисленная сумма Конечная сумма
3

1

10000,00

83,33

10083,33

4

2

10083,33

84,03

10167,36

5

3

10167,36

84,73

10252,09

6

4

10252,09

85,43

10337,52

7

5

10337,52

86,15

10423,67

8

6

10423,67

86,86

10510,53

9

7

10510,53

87,59

10598,12

10

8

10598,12

88,32

10686,44

11

9

10686,44

89,05

10775,49

12

10

10775,49

89,80

10865,29

13

11

10865,29

90,54

10955,83

14

12

10955,83

91,30

11047,13

15
16

Ставка, %

10

Рисунок 3

 

Исходными данными являются начальная сумма (значение ячейки В3), а также процентная ставка, значение ячейки С16

По завершении 12-го периода сумма с начисленными процентами будет составлять 11047. 13 руб.

Рассмотрим формулы, с помощью которых получен данный результат.

Ячейка С3: = B3*C$17%/12

Ячейка D3: = B3 + C3

Ячейка B4: = D3

После записи формул они копируются по строки 14.

Аналогом формулы в ячейке B3 является запись B3*C$17/100/12

Знак «$» в данном случае обозначает абсолютную адресацию. Без его использования при копировании формулы в столбце С номер строки для ставки будет также увеличиваться, что приведет к ошибкам при вычислении.

Другим способом вычисления конечной суммы является использование формулы S = P*(1+ i)^N, где

S – сумма с начисленными процентами

P – исходная сумма

i – процентная ставка за период

N –количество периодов

 Подставив в данную формулу наши значения, получим

= B3*(1+C17%/12)^12 = 11047,13

Такой же результат можно получить, использовав функцию СТЕПЕНЬ: = СТЕПЕНЬ(1+C17%/12;12)

Также для проведения данных вычислений подходит функция БС(), позволяющая определить будущую стоимость инвестиций. Изначально она предназначена для расчетов при условии постоянной процентной ставке и аннуитетных (равных) платежах, но обнулив третий параметр, ее можно использовать для расчета сложных процентов.

 = - БС(С17%/12;12;;10000;0)

 При использовании формул для расчета суммы с начисленными процентами применение абсолютной адресации является избыточным. Нужно обратить внимание, что функция БС() дает обратный результат и для получения положительного значения перед функцией следует использовать знак «-».

Решение системы линейных уравнений

 

Пусть есть система линейных уравнений (рис. 20).

Рисунок 20

Решим эту систему с использованием типовых возможностей Microsoft Excel двумя способами.

Первый способ – метод обратной матрицы

Запишем систему уравнений в Excel

Матрица коэффициентов

Свободные члены

2

3

4

58

3

4

2

59

4

2

3

54

Рисунок 21

Решение системы линейных уравнений возможно только в том случае, если определитель матрицы не равен нулю. Поэтому первоначально рассчитаем определитель матрицы.

Для этого используем функцию МОПРЕД().

В свободной ячейке записывается функция МОПРЕД(), в качестве параметра функции передается диапазон ячеек матрицы коэффициентов (рис. 21).

В нашем случае определитель матрицы равен -27, поэтому решение системы уравнений возможно.

Далее для решения необходимо определить обратную матрицу. Для это используется функция МОБР(). Чтобы вычислить обратную матрицу, нужно

- выделить область ячеек, в которую будет помещен результат. Выделенная область должна совпадать по размерам с исходной матрицей;

- в строке формул записать функцию МОБР(диапазон), в качестве аргумента функции передается диапазон ячеек с исходной матрицей;

- нажать CTRL+SHIFT+ENTER

Чтобы решить систему уравнений, нужно умножить обратную матрицу на столбец свободных членов.

Для перемножения используется функция МУМНОЖ(). Функция имеет два аргумента. В качестве первого передается диапазон ячеек с обратной матрицей, в качестве второго – диапазон ячеек со свободными членами.

Порядок осуществления вычислений:

- выделить диапазон ячеек для ответов (в нашем случае – три вертикальные ячейки);

- в строке формул записать функцию МУМНОЖ(Матрица;Столбец)

- нажать CTRL+SHIFT+ENTER

Внимание! Если при вычислении обратной матрицы и умножения нажать ENTER – вычисления будут произведены только для одной ячейки!

Если все сделано правильно, то в столбец ответов будут подставлены результаты 5,8,6. Соответственно, X = 5, Y = 8, Z = 6.

Общий вид задания и решения приведен на рисунке 22

Рисунок 22

 

Использованные функции с примерами записи для контрольного примера

Вычисление определителя: = МОПРЕД(B5:D7)

Вычисление обратной матрицы: =МОБР(B5:D7)

Умножение матрицы на столбец: =МУМНОЖ(B15:D17;F5:F7)

 

Второй способ решения системы линейных уравнений – использование метода Крамера.

Для того, чтобы проверить, не является ли матрица вырожденной и что указанная система уравнений имеет только одно решение, найдем определитель матрицы.

Так как исходные данные у нас те же, то определитель матрицы у нас уже рассчитан.

Далее, согласно методу Крамера, столбцы матрицы поочередно меняются на столбец свободных членов и для каждой полученной матрицы рассчитывается определитель. Вычисления приведены на рисунках 23-25.

58

3

4

59

4

2

54

2

3

определитель 1

-135

 

2

58

4

3

59

2

4

54

3

определитель 2

-216

 

2

3

58

3

4

59

4

2

54

определитель 3

-162

 

Рисунки 23- 25

Решения уравнений рассчитываются как отношения определителей полученных матриц к определителю исходной матрицы

В нашем случае получается

X = - 135  / (-27) = 5

Y = - 216 / (-27) = 8

Z = - 162 / (-27) = 6

 

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: