double arrow

Площадь криволинейной трапеции

2

Пусть функция у = f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b]. График ее изображен на рисунке слева. Поставим задачу определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой – графиком функции у = f(x), осью Ох, прямыми х = а, х = b, и вычислить площадь этой фигуры, называемой криволинейной трапецией.

Поставленную задачу естественно решать так. Произведем разбиение отрезка [a; b] на п частей точками:

а = х0 < х1 < ... < хп = b,       (3)

выберем на каждом из частичных отрезков [хj; хj+1] (j = 0, 1, ... ..., п – 1) по произвольной точке сj и составим сумму

Sn = f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(cn)Δxn, где

Δxj  = xj+1xj.

Эта сумма, очевидно, равна сумме площадей закрашенных прямоугольников (см. рис. слева).

Устремим теперь все Δxj к нулю, неограниченно увеличивая п (п ), и притом так, чтобы длина самого большого частичного отрезка разбиения стремилась к нулю. Если при этом величина Sn стремится к определенному пределу S, не зависящему от способа разбиения (3) и выбора точек с} на частичных отрезках, то величину S называют площадью данной криволинейной трапеции. Итак,

S = f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(cn-1)Δxn-1).

Пусть теперь функция y = f(x) неположительна и непрерывна на отрезке
[a; b] (рис. справа).




Рассмотрим функцию у = –f(x). Она непрерывна и неотрицательна на отрезке [a; b]. Криволинейные трапеции A1BCD1 и ABCD, ограниченные соответственно кривыми у = –f(x) и у = f(x), а также осью Ох и прямыми
х = а и х = b, симметричны относительно оси Ох. Поэтому естественно считать, что трапеция ABCD имеет площадь S1 равную площади S2 трапеции A1BCD1.

Сумму

Sn = f(c0)Δx0 + f(c1)Δx1 + ... + f(cn-1)Δxn-1             (4)

называют интегральной суммой.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, расположенной:

а) над отрезком [a; b] оси Ох есть предел интегральной суммы Sn, когда maxΔxj → 0;

б) под отрезком [a; b] оси Ох, есть взятый со знаком «минус» предел интегральной суммы Sn,, когда maxΔxj → 0.



Домашнее задание

Учебник Башмакова, стр. 198-201

Учебник Никольского, 11 класс, §§6.6. 6.7 №6.48, №6.69(а).

Итог урока

Обучающиеся отвечают на вопросы, что они сегодня изучили, что было понятно, а что нет.

 



2




Сейчас читают про: