Теорема (о вероятности произведения независимых событий)

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Если и - независимые события, то .

Эту теорему можно обобщить на любое конечное число независимых событий.

Если - независимые события, то .

Задача 3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором, третьем справочнике соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8.

Найти вероятность того, что формула содержится: 1) только в одном справочнике;

2) хотя бы в одном справочнике.

Обозначим элементарные события:

- формула содержится в первом справочнике,

- в первом справочнике формулы нет,

- формула содержится во втором справочнике,

- во втором справочнике формулы нет,

- формула содержится в третьем справочнике,

- в третьем справочнике формулы нет, .

Событие - формула содержится только в одном справочнике

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Событие - формула содержится хотя бы в одном справочнике

Событие (не ) - формулы нет ни в одном справочнике, .

Противоположные события и образуют полную группу несовместных событий.

Следовательно, .

Применим теорему о вероятности произведения независимых событий:

Задача 4. Трое по очереди бросают монету. Выигрывает тот, у которого первым появится герб.

Какова вероятность выигрыша для каждого игрока?

Обозначим элементарные события:

- игрок бросает монету 1-ый раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 1-ый раз и не выигрывает;

- игрок бросает монету 2-ой раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 2-ой раз и не выигрывает;

………………………………………………………………………….

- игрок бросает монету 1-ый раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 1-ый раз и не выигрывает;

- игрок бросает монету 2-ой раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 2-ой раз и не выигрывает;

………………………………………………………………………….

- игрок бросает монету 1-ый раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 1-ый раз и не выигрывает;

- игрок бросает монету 2-ой раз и выигрывает,

- игрок бросает монету 2-ой раз и не выигрывает;

……………………………………………………………………………

Событие - выиграл первый игрок ():

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Событие - выиграл первый игрок ():

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Событие - выиграл первый игрок ():

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Вероятность события можно найти следующим образом: .

Задача 5. Игрок поочередно играет две партии с игроками и . Вероятности выигрыша в первой партии для и равны соответственно 0,1 и 0,2. Вероятности выиграть во второй партии для игрока равна 0,3, а для игрока равна 0,4.

Определить вероятность того, что 1) первым выиграет ;

2) первым выиграет .

Обозначим элементарные события:

- игрок выигрывает в первой партии,

- игрок не выигрывает в первой партии,

- игрок выигрывает во второй партии,

- игрок не выигрывает во второй партии,

- игрок выигрывает в первой партии,

- игрок не выигрывает в первой партии,

- игрок выигрывает во второй партии,

Событие - выигрывает игрок :

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Событие -выиграет игрок :

Применим теоремы о вероятности суммы несовместных событий и вероятности произведения независимых событий:

Задача 6. В двух урнах находятся одинаковые шары, отличающиеся только цветом, причем в первой урне 5 белых, 11 черных, 8 красных шаров, а во второй урне 10 белых, 8 черных, 6 красных шаров. Из обеих урн наудачу извлекают по одному шару.

Какова вероятность того, что оба шара одного цвета?

Обозначим элементарные события:

- из первой урны извлекают белый шар,