Теорема (о вероятности суммы совместных событий)

Теорема (о вероятности суммы несовместных событий)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Если   и  - несовместные события, то .

Следствие 1

Если события  образуют полную группу несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна единице: .                                                          

Следствие 2

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, так как противоположные события   и  образуют полную группу несовместных событий: .

 

Задача 2. Для прохождения производственной практики на 30 студентов предоставлено 15 мест на металлургическом заводе, 8 мест на авиационном заводе и 7 мест в университете.

Какова вероятность того, что два определенных студента попадут на практику вместе?  

 

Обозначим элементарные события:

 

 - два определенных студента попадут вместе на металлургический завод;

 - два определенных студента попадут вместе на практику на авиационный завод;

 - два определенных студента попадут вместе на практику в университет.

 

Событие  - два определенных студента попадут на практику вместе.

 

Событие   заключается в следующем: два определенных студента попадут вместе на металлургический завод, или (+) два определенных студента попадут вместе на авиационный завод, или (+) два определенных студента попадут вместе в университет:

                                                                       ,

где события ,   и  - несовместные, так как не могут произойти одновременно в результате одного опыта.

 

Применим теорему о вероятности суммы несовместных событий и получим:

 

                                                               

Теорема (о вероятности суммы совместных событий)

Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Если   и  - совместные события, то .

 

Вероятность события , вычисленная при условии, что событие  произошло, называется условной вероятностью события .

 - безусловная вероятность события ;

 - вероятность события   при условии, что событие  произошло;

- вероятность события  при условии, что событие   произошло.                                  

Событие   называется независимым от события , если вероятность события   не зависит от того, произошло событие или нет, то есть .

Независимость событий есть свойство взаимное, то есть если событие   не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Событие   называется зависимым от события , если вероятность события   меняется в зависимости от того, произошло событие или нет, то есть .