Теоретические сведения

Крутильные колебания используются для определения моментов инерции различных тел. Момент инерции - аналог массы. Как масса – мера инертности при поступательном движении, так и момент инерции – мера инертности тел при вращательном движении. Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела – геометрией массы. Аналитическое вычисления момента инерции выполняют путем интегрирования выражения

где ρ- плотность вещества в элементе объема d V, что находится на расстоянии r от оси вращения.

Для сложной формы поверхности и неравномерном распределении плотности вычисление величины момента инерции является сложной задачей. В таких случаях момент инерции можно определить экспериментально на установке, которая аналогична используемой в данной работе.

Метод определения момента инерции, используемый в работе, основан на зависимости периода крутильных колебаний маятника, подвешенного напроволоке, от упругих свойств материала проволоки и момента инерции самого маятника.

Если колеблющееся твердое тело совершает вращательное движение, то к нему может быть применен основной закон динамики вращательного движения:

(9.1)

где J - момент инерции маятника;

М крутящий момент (момент силы) по той же оси;

- угловое ускорение.

При малых углах отклонения по закону Гука:

(9.2)

где k – коэффициент упругости проволоки.

С учетом (9.2) выражение (9.1) представим в виде:

(9.3)

Уравнение (9.3) соответствует дифференциальному уравнению гармонических крутильных колебаний:

(9.4)

Период таких крутильных колебаний находится по формуле

(9.5)

В выражении (9.5) две неизвестные J и k, которые являются постоянными для этого крутящего маятника. Чтобы их определить необходимо использовать тело - эталон - тело с известным моментом инерции, или момент инерции которого легко определить по формулам. Записывают (9.5) для двух случаев

, (9.6)

где Т_пр, J _пр -период колебаний и момент инерции прибора,

Т_эт, J _эт - период колебаний и момент инерции прибора вместе с эталоном.

Решив систему уравнений (9.6), можно получить:

(9.7)

Определив константы крутящего маятника, можно найти момент инерции исследуемого тела (образца). Для этого экспериментально находят период крутильных колебаний маятника с образцом и рассчитывают момент инерции по уравнению:

(9.8)