Оценка случайных погрешностей

Пусть в результате большого числа n измерений получены следующие значения измеряемой физической величины х:

                                             х₁, х₂,... х_n.                                                                    (4)

Среднеарифметическое значение величины х равно:

                                                                                          (5)

Среднеарифметическая погрешность вычисляется по формуле:

                      .                               (6)

Среднеквадратическая погрешность определяется по формуле:

                                        (7)

Грубые оценки интервала, к которому принадлежит истинное значение х измеряемой величины, имеет вид доверительного интервала:

                                   .                                         (8)

 

Недостатком оценки (8) является отсутствие данных о степени ее надежности. В связи с этим с помощью теории вероятностей получены более строгие, чем (8) оценки погрешности измерений.

Пусть  измеренных значений величины x принадлежат интервалу:

                                                .                                                     (9)

Составим отношение . Величина

                                                         (10)

есть вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х принадлежит интервалу. Поскольку , то вероятность р удовлетворяет условию:

                                                   .                                                                 (11)

Гаусс предложил, что:

ошибки разных знаков равновероятны;

чем больше ошибка по абсолютной величине, тем меньше ее вероятность;

число проделанных измерений n достаточно велико;

ширина интервала (9) достаточно мала.

При выполнении этих условий, как показал Гаусс, вероятность Р того, что истинное значение измеряемой величины принадлежит интервалу , может быть оценена по формуле:

                                        ,                                                             (12)

где функция  имеет вид:

                                                                                         (13)

Функция  называется функцией распределения Гаусса. Формула (12) тем точнее, чем меньше  и чем больше число измерений n.

Полученные Гауссом результаты позволили сформулировать и решить вопрос о погрешности измерений при влиянии случайных ошибок. Поставим вопрос следующим образом: указать тот интервал

 

                                       ,                                                       (14)

 

к которому с заданной вероятностью («надежностью») принадлежит истинное значение измеряемой физической величины х. Этот интервал называют доверительным интервалом. (Обычно в физическом практикуме задается надежность ). Ответ на этот вопрос следующий:

 

                                          , ,                                                            (15)

 

где величина t, называемая коэффициентом Стьюдента, зависит от числа измерений n, а также от степени требуемой надежности (таблица 1).