2020-05-21
275
а) Координаты середины отрезка. В системе координат Охуz отметим точку А с координатами (х1;у1; z1), и точку В с координатами (х2; у2; z2). Выразим координаты (х; у; z) середины С отрезка АВ через координаты его концов (рис. 128). Так как точка С — середина отрезка АВ, то 
(2) (Справедливость этого равенства доказана в курсе планиметрии.)
Координаты векторов 
, 
и 
равны соответствующим координатам трех точек С, А и В: {х; у; z } {х1; у1; z 1} {х2; у2; z 2}. Записав равенство (2) в координатах, получим
Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.
Б) Вычисление длины вектора по его координатам.
Докажем, что длина вектора 
{х; у; z} вычисляется по формуле 
(3)
Отложим на осях координат векторы 1 = х 
, 2 = y 
, 3 = z 
.
и рассмотрим вектор = 1 + 
2 + 
3 = х + y + z
Длина вектора выражается через длины векторов 1, 2 , 3 следующим образом:
(4)
В самом деле, если точка А не лежит на координатных плоскостях (рис. 129), то равенство (4) справедливо в силу свойства диагонали прямоугольного параллелепипеда:
= 1 + 2 + 3
Во всех других случаях расположения точки А (точка А лежит на координатной плоскости или на оси координат) равенство (4) также верно (рассмотрите эти случаи самостоятельно).
Так как 
, то из равенства (4) получаем формулу (3):
в) Расстояние между двумя точками. Рассмотрим две произвольные точки: точку М1 с координатами (х1; у1; z1) и точку М2 с координатами (х2; у2; z2).
Выразим расстояние d между точками М1 и М2 через их координаты.
С этой целью рассмотрим вектор 
Его координаты равны {х2 – х1; у2 – у1; z2 – z1}.
Следовательно по формуле (3) 
. Но Таким образом, расстояние между точками М1 (х1; у1; z1) и М2 (х2; у2; z2) вычисляется по формуле
