2020-05-21
346
Возьмем два произвольных вектора 
и 
Отложим от какой-нибудь точки О векторы 
= и 
= 
. Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ (рис. 133).
Рис. 133 Рис 134
Градусную меру этого угла обозначим буквой α и будем говорить, что угол между векторами и равен α. Если же векторы и сонаправлены, в частности один из них или оба нулевые, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. Угол между векторами и обозначается так: 
На рисунке 134 изображено несколько векторов. Углы между ними таковы: 
. На этом рисунке
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов 
и 
обозначается так: · Таким образом, . Как и в планиметрии, справедливы утверждения:
скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны;
скалярный квадрат вектора (т. е. скалярное произведения вектора на себя) равен квадрату его длины. (Докажите эти утверждения самостоятельно).
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить координаты этих векторов: скалярное произведение векторов 
выражается формулой
Это утверждение доказывается точно так же, как в планиметрии.
Косинус угла α между ненулевыми векторами вычисляется по формуле
В самом деле, так как , то .
Подставив сюда выражения для через координат векторов и , получим формулу (1).
Сформулируем основные свойства скалярного произведение векторов.
Для любых векторов , 
и любого числа k справедливо равенства:
