Действия над векторами. Свойства действий

Теорема кронекера – капелли. Примеры.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных

Это соответствует системе:
-3X₂ + 9X₃ = 6
-4X₁ + 5X₂ + 7X₃ - 10X₄ = 0
за базисные переменные примем x₁ и x₂. Тогда свободные x₃,x₄.
Ранг основной матрицы равен 2. Ранг расширенной матрицы тоже равен 2. Система совместна и имеет бесконечное множество решений.

11.следствия из теоремы кронекера – капелли. Примеры.??????????7

                          12. Однородная система. Решения однородной системы.

Система линейных уравнений называется однородной, если ее свободные члены равны нулю. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как нулевой вектор 0 = (0, 0, …, 0) является решением этой системы

Свойства решений однородной системы линейных уравнений

Если вектор а = (a₁, a₂, …, a _n) является решением однородной системы, то вектор k × а = (k ×a₁, k ×a₂, …, k ×a _n) также является решением этой системы, где k – любое число.

Если векторы а = (a₁, a₂, …, a _n) и b = (b₁, b₂, …, b _n) являются решениями однородной системы, то вектор a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, a _n + b _n) также является решением этой системы.

                                 1. Геометрические векторы, основные определения.

Геометрическим вектором (или просто вектором) называется отрезок, концы которого рассматриваются в определенном порядке

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Действия над векторами. Свойства действий.

Сложение двух векторов производится поэлементно, то есть если , то в координатной форме записывается:

Вычитание двух векторов производится поэлементно, аналогично сложению, то есть если , то в координатной форме записывается

Умножение вектора на число покоординатно:

Свойства