Затем из каждого оставшегося уравнения вида

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Две группы методов-точные и приближенные.

Точные (прямые) - позволяют получить точное решение с помощью конечного числа арифметических действий.

Приближенные- позволяют получить точное решение с помощью бесконечного числа арифметических действий.

Известные точные методы- Крамера, Гаусса (метод Крамера в вычислительной практике не используется из-за большого количества вычислений).

Метод Гаусса

Данный метод также называется методом последовательного исключения неизвестных. Он относится к группе прямых методов и основан на преобразовании исходной системы к эквивалентной форме с треугольной матрицей коэффициентов.

Исходная система

             (1)

или A*x=B (в матричном виде)

При использовании метода Гаусса задача решается в два этапа:

1) прямой ход;

2) обратный ход.

Прямой ход заключается в преобразовании системы к треугольному виду.

При обратном ходе производится вычисление значений неизвестных.

Прямой ход метода Гаусса. Для получения расчетных формул прямого хода преобразуем исходную систему (1), заменив элементы b_i () на a_i,n+1. В результате система (1) будет иметь следующий вид

 

 

Прямой ход выполняется за (n-1) шагов, причем на каждом шаге из уравнений с номерами k + 1, k + 2, …, n исключается неизвестное x_k.

На первом шаге сначала первое уравнение делится на a₁₁ ¹ 0. Получим

 

                                                                (3)

где

Затем из каждого оставшегося уравнения вида

 ()

 

вычитается полученное уравнение (3), умноженное на коэффициент a_i1. В итоге, после выполнения первого шага прямого хода система уравнений примет следующий вид

                                     (4)

где

 

На втором шаге указанные выше действия повторяются над (n - 1) уравнениями системы (4), всеми кроме первого, с целью исключения переменной x₂, где .

 

В итоге получим

 

где

Повторяя шаги прямого хода (n - 1) раз, окончательно получим систему уравнений треугольного вида

 

                                                (5)

где

 

Обратный ход метода Гаусса. После приведения исходной системы уравнений (1) к треугольному виду (5) вычисляются значения корней по следующим формулам

 

Таким образом, расчетные формулы обратного хода имеют вид