Показательная форма комплексного числа

Если комплексному числу z = (cos φ + i sin φ), модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение e^{i φ}, то получим соотношение

cos φ + i sin φ = e^{i φ}  называется формулой Эйлера.

Любое комплексное число z можно записать в виде z = r e^{i φ}

Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой.

 

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

1.

2. z₁/z₂ = =

3. zⁿ = (r(cos j + i sin j))ⁿ = rⁿ(cos nj + i sin nj)

4. =  =  , где k = 0, 1, 2, …, n-1

Последняя формула называется формулой Муавра.

 

Пример 2: z₁ =  (cos (- ) + i sin (- )) и z₂ = 2 (cos + i sin  )

=

 

=

(z₂)³ = 2³ (cos 3* + i sin 3* ) = 8 (cos + i sin  )

 

=

=

полагая k = 0, 1, 2, найдем

при к = 0

= =

при к = 1

= =

при к = 2

= =

 

Действия над комплексными числами в показательной форме:

z₁z₂ =

z₁/z₂ =

zⁿ =rⁿ e^{n i j}

Пример 3: z₁ =  и z₂ = 2

z₁z₂ =

 

z₁/z₂ =

 

(z₂)³ = 23 = 8