Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида      (1) называется линейным уравнением.

Линейное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными заменой искомой функции у произведением двух вспомогательных функций u и v, т.е y = uv.

Тогда , и уравнение (1) принимает вид . (2)

Пользуясь тем, что одно из вспомогательных переменных, например v, выбрано произвольно, подберем его так, чтобы выражение в квадратных скобках обратилось в нуль, т.е. в качестве v возьмем одно из частных решений v=v(x) уравнения с разделяющимися переменными .

Подставив выражение v=v(x) в уравнение (2), получим уравнение относительно функции u: .

Это также уравнение с разделяющимися переменными. Найдя общее решение этого уравнения u=u(x,C), получим общее решение уравнения (1):

y = u(x,C)v(x).

Пример: Найти общее решение уравнения .

Решение: Делаем замены  и .

Получаем  (*)

Решаем уравнение  Û  Û  Û v = x^-1 Û v =

Подставляем v в уравнение (*), получаем уравнение:

 Û  Û

Итак, искомое общее решение