Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для правой половины рассматриваемого отрезка разности лучше вычислять справа налево. В этом случае:

t= ,

o. е. t  0 и интерполяционную формулу Ньютона можно получить в виде:

(16)

Формулу (16) называют второй интерполяционной формулой Ньютона для интерполирования назад.

Пример 3. Дана таблица значений y = lg x семизначных логарифмов

Найти lg 1044.

Составляем таблицу разностей (Таблица 1).

Таблица 1.

Таблица разностей функции у = lg x

Примем x_n = 1050,

тогда

Используя подчеркнутые разности, в силу формулы (16) будем иметь:

lg 1044 = 3,0211893 + (-0,6)  0,0041560 +  0,0000401 +  0,0000008 = 3,0187005.

Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т. е. для нахождения значений функции y для значений аргументов х, лежащих вне пределов таблицы. Если х < х ₀ и х близко к х ₀, то выгодно применять первую интерполяционную формулу Ньютона, причем тогда

< 0.

Если х < х_n и х близко к х_n, то удобнее пользоваться второй интерполяционной формулой Ньютона, причем

> 0.

Таким образом, первая интерполяционная формула Ньютона обычно используется для интерполирования вперед и экстраполирования назад, а вторая интерполяционная формула Ньютона, наоборот - для интерполирования назад и экстраполирования вперед.

Операция экстраполирования менее точна, чем операция интерполяции в узком смысле слова.