Основная часть. Объясняющий модуль

Многогранник представляет собой геометрическое тело, ограниченное конечным числом плоских многоугольников, любые два смежные из которых не лежат в одной плоскости.

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

Это тело также называется многогранником.

Обратим внимание, из чего состоит поверхность многогранника. Давайте рассмотрим, например, прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.

 Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести прямоугольников. Т.е. его поверхность составлена из шести многоугольников. Назовем их: ABCD, A₁B₁C₁D₁, AA₁B₁B, DD₁C₁C, AA₁D₁D и BB₁C₁C. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его гранями. Заметим, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости.

Стороны граней: AB, BC, CD, AD, A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, A₁D₁, AA₁, DD₁, BB₁ и CC₁ называются ребрами многогранника. А концы ребер: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁– вершинами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, например, A₁C – называется диагональю многогранника. В данном случае, диагональ прямоугольного параллелепипеда.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника, называется секущей плоскостью, а общая часть многогранника и секущей плоскости – сечением многогранника.

Многогранники, также как и многоугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Так, если провести плоскость, например, через грань DD₁C₁C, то весь многогранник будет лежать по одну сторону от этой плоскости. Аналогично, если провести плоскости и через остальные его грани, многогранник всегда будет расположен по одну сторону от этих плоскостей. Такой многогранник называется выпуклым.

Определение. Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Если это условие не выполняется, т.е. многогранник лежит по разные стороны хотя бы от одной плоскости, проходящей через грань, то многогранник называется невыпуклым.

Плоскость, по обе стороны от которой имеются точки многогранника,

Легко заметить, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Отметим, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360°.

Пояснить это утверждение нетрудно. Возьмем многогранник и разрежем его вдоль ребер и все его грани с общей вершиной А развернуты так, что они оказались расположенными в одной плоскости α. Очевидно, что сумма всех плоских улов при вершине А меньше 360°.

  Нетрудно заметить, что названия многогранников имеют древнегреческое происхождение. Первая часть названия показывает количество граней из которых состоит фигура, а слово эдр произошло от древнегреческого слова «эдра» - грань.

  Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это — тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями.

3.Домашнее задание: составить опорный конспект и выполнить задания.

Задание №1: выбрать и подчеркнуть свойства или утверждения, которые относятся к тетраэдру.

Задание № 2: выбрать и подчеркнуть свойства или утверждения, которые относятся к параллелепипеду.