Примеры выполнения заданий

Практическое занятие № 8

Тема: Нахождение производной функции

Цель: научиться вычислять производные различных функций, пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных

Материально техническое обеспечение: инструкционная карта для проведения практического занятия, тетрадь, карандаш, линейка, ручка.

Краткие теоретические сведения

Определение: Пусть функция ƒ (x) определена в некоторой окрестности точки x₀. Производной функции ƒ (x) в точке x₀ называется отношение приращения функции ∆ƒ (x₀) к приращению аргумента ∆x при ∆x → 0, если этот предел существует, и обозначается ƒ ’ (x₀). Итак,                                     (1)

Производную функции y = ƒ (x), x є (a;b) в точке x обозначают ƒ ’ (x), y ’ (x),  , , причём все эти обозначения равноправны.

Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Функция, имеющая производную в точке x₀, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную ƒ ’ (x) можно рассматривать как функцию на (a;b).

Правила дифференцирования

1)                                                            3) ,   ;   

2) ,                                    4) ,

где u и υ - дифференцируемые функции переменной x, C - константа.

 Правило дифференцирования сложной функции

  Пусть   дана сложная функция , где . Если функция  дифференцируема в некоторой точке х ₀, а функция  определена на множестве значений функции  и дифференцируема в точке , то сложная функция  в данной точке х ₀ имеет производную, которая находится по формуле 

                       или

Примеры выполнения заданий

 Пользуясь таблицей основных производных и правилами дифференцирования, найдите производные функций:

Пример №1. .Решение:

Преобразуем данную функцию следующим образом:

Находим

Пример №2. а)

б) , в)

Решение: а)  так как данная функция состоит из суммы (разности) нескольких функций, то для того чтобы найти ее производную воспользуемся следующим правилом: , а именно

 = .

Таким образом, .

б) , так как данная функция состоит из произведения двух функций, то для того чтобы найти ее производную воспользуемся следующим правилом: , а именно

= .

Таким образом, .

в) , так как данная функция состоит из частного двух функций, то для того чтобы найти ее производную воспользуемся следующим правилом: , а именно . Таким образом, .

Пример №3.

Решение:

Пример №4.

Решение:

Пример №5.

Решение:

Порядок выполнения

- ознакомиться с теоретическими положениями по данной теме;

- переписать примеры решения задач;

- выполнить задания практической работы;

- сформулировать вывод

                     4. Задания для самостоятельной работы:

Вариант №1 Задание №1.Найти значение производной функции в точке : а) , , б) , Задание №2.Пользуясь таблицей основных производных и правилами дифференцирования, найдите производные функций: а) б) , в) Задание №3.Найти производную сложной функции: а);  б)

Вариант №2 Задание №1.Найти значение производной функции в точке : а) , , б) , Задание №2.Пользуясь таблицей основных производных и правилами дифференцирования, найдите производные функций: а) б) , в) Задание №3.Найти производную сложной функции: а);  б)

4.Содержание отчета:   отчет по практической работе должен содержать: тему, цель, примеры решения, рассуждения по решению задач, необходимые вычисления, ответ, вывод по работе.

Контрольные вопросы:

1. Определение производной.

2. Правила дифференцирования.

3. Алгоритм нахождения производной функции в точке.

4. Как называется процесс нахождения производной для функции?

5. Какую функцию называют сложной? Приведите примеры сложных функций

6. Как вычисляется производная сложной функции?