Метод фрактальной размерности

Понятие фрактальная размерность было введено как индекс, описывающий сложность временной последовательности. Фрактальная кривая обладает следующим свойством: каждая часть этой кривой может быть рассмотрена, как уменьшенный в масштабе образ целой кривой. Другими словами спектральная характеристика подчиняется одному закону по всем диапазонам частот. Фрактальная размерность определяется напрямую из временной последовательности - без перевода ее в фазовую область. Так как эта размерность описывает сложность кривой, то значения ее варьируются от 1 до 2.1 - это прямая линия (одномерное пространство), 2 - это плоскость (двумерное пространство). То есть чем сильнее меняется временная последовательность, тем больше фрактальная размерность [18].

В случае реальных нестационарных временных последовательностей статистические характеристики могут зависеть от выбранного временного масштаба, то есть вся последовательность может не подходить под определение фрактальной кривой. Тем не менее можно определять размерность не на целой последовательности, а по частям, на которых условие фрактальной кривой выполняется. Усовершенствованный метод нахождения фрактальной размерности был предложен Т. Хигучи в 1988г. Особая ценность метода в том, что для него не нужно большой длины последовательности, что важно в таких случаях, как изучение различных природных процессов [17]. Рассмотрим последовательность наблюдений, выполненных через равные промежутки времени:

 

 

Из данной последовательности создадим новые  последовательности, определенные следующим образом:

 

 

Где  - целая часть от числа, а m и k - целые числа, определяющие начальный отсчет и временной интервал соответственно. Для временного интервала равного k мы получим k новых временных последовательностей.

Пример. В случае k = 3 и количестве точек N = 100 получим 3 подпоследовательности:

 

 

Далее нужно определить длину каждой кривой, соответствующей подпоследовательностям  по формуле:

 

 

Где

 - нормализующий множитель для длин подпоследовательностей. Чтобы определить длину последовательности для временного интервала k берем среднее значение длин подпоследовательностей:

 

 

Если выполняется следующий закон:

 

 

то можно сказать, что кривая фрактальна с размерностью D. Если построить график  в логарифмической системе координат точки должны образовать прямую линию с коэффициентом наклона - D, который находим методом наименьших квадратов:

 

 

где , , , n - количество различных значений k, для которых была посчитана L [18].

Для сегментации ЭЭГ на стационарные участки разделим всю запись на короткие участки (1-5 сек) и найдем фрактальную размерность каждого участка. Далее стираем границы между соседними сегментами с "равными" фрактальными размерностями, в результате этого получаем разбиение на стационарные сегменты.

Результаты

 

Описание модуля

 

В ходе работы был создан программный модуль, осуществляющий сегментацию ЭЭГ непараметрическим методом, методом фрактальной размерности и на сегменты равной длины, расчет фрактальной размерности для сегментов заданной длины, расчет амплитуды спектров заданных частот для рассчитанной сегментации, построение гипнограммы ручным способом, а также автоматически: по средним значениям фрактальной размерности и с помощью нейросетевого классификатора (реализованного ранее на основе скрытых моделей Маркова). Общий вид программы представлен на рисунке 7. В верхней половине экрана отображается запись электроэнцефалограммы, далее представлен пример рассчитанной гипнограммы, затем график фрактальной размерности и последние 3 графика - мощности спектров, выбранных диапазонов частот.

Для сегментации ручным способом пользователю необходимо задать длину сегмента. Для сегментации непараметрическим методом необходимо задать вероятность обнаружения границ сегментов. А для сегментации с помощью фрактальной размерности нужно предварительно посчитать эту размерность для сегментов указанной длины.

При наличии сегментации можно посчитать амплитуды спектров для полученных сегментов. Для этого пользователю необходимо указать границы частот, для которых будут рассчитываться спектры.

Для ручного построения гипнограммы достаточно рассчитать сегментацию. При наличии рассчитанных амплитудных спектров в специальном окне указываются их величины для текущего сегмента. Это позволяет пользователю точнее определить текущую стадию сна (рис.7).

 

 

 

Для построения гипнограммы по средним значениям фрактальной размерности необходимо посчитать размерность и просегментировать запись ЭЭГ по полученным результатам.

Для применения нейросетевого классификатора при построении гипнограммы нужно провести сегментацию и рассчитать амплитудные спектры для данных сегментов, так как на основе значений амплитуд классификатор ведет разбиение по группам.