Оценка сложных систем в условиях неопределенности

Специфические черты организационно-технических систем часто не позволяют свести операции, проводимые этими системами, к детерминированным или вероятностным. К таким чертам относятся:

1. Наличие в управляемой системе в качестве элементов (подсистем) целенаправленных индивидуумов и наличие в системе управления ЛПР, осуществляющих управление на основе субъективных моделей, что и приводит к большому разнообразию поведения системы в целом.

2. Алгоритм управления часто строит сама система управления, преследуя помимо предъявляемых старшей системой целей, собственные цели, не всегда совпадающие с внешними.

3. На этапе оценки ситуации в ряде случаев исходят не из фактической ситуации, а из той модели, которой пользуется ЛПР при управлении объектом.

4. В процессе принятия решения большую роль играют логические рассуждения ЛПР, не поддающиеся формализации классическими методами математики.

5. При выборе управляющего воздействия ЛПР может оперировать нечеткими понятиями, отношениями и высказываниями.

6. В большом классе задач управления организационно-техническими системами отсутствуют объективные критерии оценивания достижения целевого и текущего состояний объекта управления, а также статистика, достаточная для построения соответствующих вероятностных распределений (законов распределения исходов операций) для конкретного принятого решения.

Таким образом, несводимость операций, проводимых сложными организационно техническими системами к детерминированным или вероятностным, не позволяет использовать для их оценки детерминистские и вероятностные критерии.

Таблица 7.1 Оценка эффективности для неопределенных операций

Условия оценки эффективности систем для неопределенных операций можно представить в виде табл.7.1, в которой обозначены:

 вектор управляемых параметров, определяющий свойства системы (i=1,…,m);

 вектор неуправляемых параметров, определяющий состояние обстановки (j=1,…,k);

 значение эффективности системы для состояния обстановки

 эффективность системы

Каждая строка таблицы содержит значения эффективности одной системы для всех состояний обстановки, а каждый столбец значения эффективности для всех систем при одном и том же состоянии обстановки. В случае задания состояний обстановки одним параметром матрица эффективности может быть представлена диаграммой (рис. 7.1).

В неопределенной операции могут быть известны множество состояний обстановки и эффективность систем для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

В зависимости от характера неопределенности операции могут делиться на игровые и статистически неопределенные. В игровых операциях неопределенность вносит своими сознательными действиями противник. Для исследования игровых операций используется теория игр. Условия статистически неопределенных операций зависят от объективной действительности, называемой природой.

Рис.7.1 Диаграмма эффективности систем a_i для условий n_j

Природа рассматривается как незаинтересованная, безразличная к операции сторона (она пассивна по отношению к лицу, принимающему решение). Такие операции могут исследоваться с применением теории статистических решений.

Если операция, проводимая системой, уникальна, то для разрешения неопределенности при оценке систем используются субъективные предпочтения ЛПР. По этой причине единого критерия оценки эффективности для неопределенных операций не существует. Разработаны лишь общие требования к критериям и процедурам оценки и выбора оптимальных систем. Основными требованиями являются:

1. оптимальное решение не должно меняться с перестановкой строк и столбцов матрицы эффективности;

2. оптимальное решение не должно меняться при добавлении тождественной строки или тождественного столбца к матрице эффективности;

3) оптимальное решение не должно меняться от добавления постоянного числа к значению каждого элемента матрицы эффективности;

4. оптимальное решение не должно становиться неоптимальным, а неоптимальное оптимальным в случае добавления новых систем, среди которых нет ни одной более эффективной системы;

5. если системы a_i и a_j оптимальны, то вероятностная смесь этих систем тоже должна быть оптимальна.

В зависимости от характера предпочтений ЛПР наиболее часто в неопределенных операциях используются критерии:

• среднего выигрыша;

• Лапласа;

• осторожного наблюдателя (Вальда);

• максимакса;

• пессимизма-оптимизма (Гурвица);

• минимального риска (Сэвиджа).

Рассмотрим эти критерии на примере.

Таблица 7.2 Матрица эффективности программных продуктов

Пример. Необходимо оценить один из трех разрабатываемых программных продуктов а, для борьбы с одним из четырех типов программных воздействий Матрица эффективности представлена в табл. 7.2. Здесь программный продукт, i={1,2,3}, k_j оценка эффективности применения i- го программного продукта при j- м программном воздействии.

Критерий среднего выигрыша. Данный критерий предполагает задание вероятностей состояний обстановки p_i. Эффективность систем оценивается как среднее ожидаемое значение (математическое ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки:

Оптимальной системе будет соответствовать эффективность

Если в данном примере задаться вероятностями применения противником программных воздействий p₁=0,4; p₂=0,2; p₃=0,1; p₄=0,3; то получим следующие оценки систем:

K(a₁)=0,4*0,1+0,2*0,5+0,1*0,1+0,3*0,2=0,21

K(a₂)=0,4*0,2+0,2*0,3+0,1*0,2+0,3*0,4=0,28

K(a₃)=0,4*0,1+0,2*0,4+0,1*0,4+0,3*0,3=0,25

Оптимальное решение система a₂.

Критерий Лапласа. В основе критерия лежит предположение: поскольку о состояниях обстановки ничего не известно, то их можно считать равновероятными. Исходя из этого

Рассчитаем эффективность систем по данному критерию для приведенного примера:

K(a₁)=0,25*(0,1+0,5+0,1+0,2)=0,225

K(a₂)=0,25*(0,2+0,3+0,2+0,4)=0,275

K(a₃)=0,25*(0,1+0,4+0,4+0,3)=0,3

Оптимальное решение система a3. Критерий Лапласа представляет собой частный случай критерия среднего выигрыша.

Критерий осторожного наблюдателя (Вальда). Это максиминный критерий, он гарантирует определенный выигрыш при наихудших условиях. Критерий основывается на том, что, если состояние обстановки неизвестно, нужно поступать самым осторожным образом, ориентируясь на минимальное значение эффективности каждой системы.

В каждой строке матрицы эффективности находится минимальная из оценок систем по различным состояниям обстановки

Оптимальной считается система из строки с максимальным значением эффективности:

Применение критерия максимина к нашему примеру дает следующие оценки:

К(а₁) = min(0,l; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,1;

К(а₂) = min(0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,2;

К(а₃) = min(0,1; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,1;

Оптимальное решение система а2.

Максиминный критерий ориентирует на решение, не содержащее элементов риска: при любом из возможных состояний обстановки выбранная система покажет результат операции не хуже найденного максимина. Такая осторожность является в ряде случаев недостатком критерия. Другой недостаток он не удовлетворяет требованию 3 (добавление постоянного числа к каждому элементу столбца матрицы эффективности влияет на выбор системы).

Критерий максимакса. Этим критерием предписывается оценивать системы по максимальному значению эффективности и выбирать в качестве оптимального решения систему, обладающую эффективностью с наибольшим из максимумов:

K(a_i) = max_jk_ij

К_onm = max_i(max_jk_ij)

Оценки систем на основе максимаксного критерия в примере принимают такие значения:

К(а₁) = max(0,l; 0,5; 0,1; 0,2) = 0,5;

К(а₂) = max(0,2; 0,3; 0,2; 0,4) = 0,4;

К(а₃) = max(0,1; 0,4; 0,4; 0,3) = 0,4;

Оптимальное решение система а1. Критерий максимакса самый оптимистический критерий. Те, кто предпочитает им пользоваться, всегда надеются на лучшее состояние обстановки и, естественно, в большой степени рискуют.

Критерий пессимизма-оптимизма (Гурвица). Это критерий обобщенного максимина. Согласно данному критерию при оценке и выборе систем неразумно проявлять как осторожность, так и азарт, а следует, учитывая самое высокое и самое низкое значения эффективности, занимать промежуточную позицию (взвешиваются наихудшие и наилучшие условия). Для этого вводится коэффициент оптимизма ά (0≤ά≤1), характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение.

Эффективность систем находится как взвешенная с помощью коэффициента ά сумма максимальной и минимальной оценок:

Условие оптимальности записывается в виде^

Зададимся значением ά = 0,6 и рассчитаем эффективность систем для рассматриваемого примера:

K(a₁)=0,6*0,5+(10,6)*0,1=0,34

K(a₂)=0,6*0,4+(10,6)*0,2=0,32

K(a₃)=0,6*0,4+(10,6)*0,1=0,34

Оптимальной системой будет а₁.

При ά=0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина, приά=1 к критерию максимакса.

Значение ά может определяться методом экспертных оценок. Очевидно, что, чем опаснее оцениваемая ситуация, тем ближе величина ά должна быть к единице, когда гарантируется наибольший из минимальных выигрышей или наименьший из максимальных рисков.

На практике пользуются значениями коэффициента а в пределах 0,3 0,7. В критерии Гурвица не выполняются требования 4 и 5.

Критерий минимального риска (Сэвиджа). Минимизирует потери эффективности при наихудших условиях. Для оценки систем на основе данного критерия матрица эффективности должна быть преобразована в матрицу потерь (риска). Каждый элемент матрицы потерь определяется как разность между максимальным и текущим значениями оценок эффективности в столбце:

Δk_ij=max_ik_ijk_ij

После преобразования матрицы используется критерий минимакса:

K(a_i)=max_jΔk_ij

K_opt=min_i(max_jΔk_ij)

Таблица 7.3 Матрица потерь

Оценим эффективность систем из приведенного примера в соответствии с данным критерием. Матрице эффективности (см. табл. 7.2) будет соответствовать матрица потерь (табл. 7.3). Тогда:

K(a₁)=max(0,1;0;0,3;0,2)=0,3

K(a₂)=max(0;0,2;0,2;0)=0,2

K(a₃)=max(0,1;0,1;0;0,1)=0,1

Оптимальное решение система аз. Критерий минимального риска отражает сожаление по поводу того, что выбранная система не оказалась наилучшей при определенном состоянии обстановки. Так, если произвести выбор системы а₁, а состояние обстановки в действительности , то сожаление, что не выбрана наилучшая из систем (а3), составит 0,3. О критерии Сэвиджа можно сказать, что он, как и критерий Вальда. относился к числу осторожных критериев. По сравнению с Критерием Вальда в нем придается несколько большее значение выигрышу, чем проигрышу. Основной недостаток критерия не выполняется требование 4.

Таким образом, эффективность систем в неопределенных операциях может оцениваться по целому ряду критериев. На выбор того или иного критерия оказывает влияние ряд факторов:

• природа конкретной операции и ее цель (в одних операциях допустим риск, в других нужен гарантированный результат);

• причины неопределенности (одно дело, когда неопределенность является случайным результатом действия объективных законов природы, и другое, когда она вызывается действиями разумного противника, стремящегося помешать в достижении цели);

• характер лица, принимающего решение (одни люди склонны к риску в надежде добиться большего успеха, другие предпочитают действовать всегда осторожно).

Выбор какого-то одного критерия приводит к принятию решения по оценке систем, которое может быть совершенно отличным от решений, диктуемых другими критериями. Это наглядно подтверждают результаты оценки эффективности систем применительно к примеру 2 по рассмотренным критериям (табл. 7.4).

Таблица 7.4 Сравнительные результаты оценки систем

 

Тип критерия для выбора рационального варианта должен быть оговорен на этапе анализа систем, согласован с заказывающей организацией и в последующих задачах синтеза информационных и других сложных систем предполагается заданным. Процесс выбора вида критерия для учета неопределенности достаточно сложен. Устойчивость выбранного рационального варианта можно оценить на основе анализа по нескольким критериям. Если существует совпадение, то имеется большая уверенность в правильности выбора варианта.

В случаях, когда системы, выбранные по различным критериям, конкурируют между собой за право быть окончательно выбранными, могут применяться процедуры, основанные на мажоритарной обработке результатов оценки по простому большинству голосов. Особенностью мажоритарной обработки является опасность выбора системы, не являющейся лучшей, на основе многоэтапного выбора при группировке альтернатив в коалиции. Такая ситуация отражена на рис.7.5, где 8 из 27 систем по разным критериям были оценены как худшие. Однако при группировке в коалиции и организации двухэтапной процедуры мажоритарной обработки в качестве лучшей была выбрана одна из худших систем.

В любом случае при выделении множества предпочтительных систем по разным критериям окончательный выбор системы должен осуществляться лицом, принимающим решение. При этом в операциях, которым в зависимости от характера соответствует либо пороговая, либо монотонная функция полезности, эффективность систем правомочно оценивать непосредственно по показателям исходов.

Рис.7.5 Угроза мажоритарного выбора худшей системы на основе коалиций:  худшая система,  лучшая система

Для детерминированных операций критерием эффективности будет служить сам показатель, для вероятностных, либо вероятность получения допустимого значения показателя (при пороговой функции полезности), либо математическое ожидание значения показателя (при линейной функции полезности).

Оценка эффективности систем на основе показателей исходов в других случаях может приводить к неправильному выбору, поэтому переход к оценке эффективности систем без введения функции полезности должен всегда сопровождаться обоснованием.