Абсолютная сходимость

Свойства абсолютно сходящихся рядов

Рассмотрим ряды со знакопеременными членами.

Определение. Абсолютно сходящимся рядом называется сходящийся ряд , для которого сходится и ряд .

С помощью критерия Коши легко доказать, что из сходимости ряда вытекает сходимость ряда . Ряд сходится, значит выполнено необходимое условие: . Но тогда для ряда имеет место соотношение , а этого достаточно для его сходимости.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1.Любая перестановка членов абсолютно сходящегося ряда не влияет на его сумму.

2.Ряды, составленные из положительных и отрицательных членов абсолютно сходящегося ряда, сходятся.

3.Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Условная сходимость. Теорема Римана. Признак Лейбница.

Если ряд из абсолютных величин расходится, то про исходный ряд можно утверждать лишь то, что он не является абсолютно сходящимся. Например, знакочередующийся ряд не является абсолютно сходящимся, т.к. ряд из абсолютных величин – гармонический ряд – расходится. К вопросу об исследовании сходимости таких рядов мы и переходим.