Признак сходимости Коши

Теорема (радикальный признак сходимости Коши). Пусть задан ряд с неотрицательными членами и при всех , где . Тогда ряд сходится. Если же при всех , то ряд расходится.

Доказательство. Неравенство равносильно неравенству . Так как и ряд сходится, то по первому признаку сходимости ряд также сходится.

Если же , то и равенство невозможно. Т.е. необходимое условие сходимости не выполняется – ряд расходится.

В предельной форме эта теорема выглядит так:

Теорема. Пусть задан ряд с неотрицательными членами и существует . Тогда если , то ряд сходится, если , то ряд расходится. При признак неприменим.

Доказательство. Пусть . Выбираем так, чтобы и . Согласно определению предела последовательности найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство , т.е. . Применяя предыдущую теорему, получаем, что ряд сходится.

Если же , то выберем так, чтобы . Тогда снова найдется такой номер , что для всех выполняется неравенство и вновь по предыдущей теореме ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим признак Коши в предельной форме. Здесь

Значит, в силу признака Коши в предельной форме данный ряд сходится.

Интегральный признак сходимости. Сходимость ряда .

Теорема (интегральный признак сходимости.) Пусть – непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая функция, определенная при . Тогда ряд и несобственный интеграл либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Доказательство. Ввиду монотонности функции выполняются неравенства для промежутка . Интегрируя по на этом промежутке, получаем . Придавая значения и складывая полученные неравенства, получаем или . Функция также является монотонной, поэтому если несобственный интеграл сходится, то выполняется неравенство . Но тогда для : , т.е. . А ограниченность последовательности частичных сумм для ряда с неотрицательными членами – это достаточное условие сходимости такого ряда.

Пусть теперь сходится ряд . Тогда . Взяв произвольное , выберем так, чтобы . Но тогда: . Значит, несобственный интеграл сходится.

Пример. Для примера рассмотрим обобщенный гармонический ряд . Докажем, что ряд сходится при и расходится при .

Применим интегральный признак сходимости. Общему члену ряда соответствует функция (непрерывная, неотрицательная, монотонно убывающая). Вычислим несобственный интеграл

Интеграл сходится при , следовательно, сходится и ряд .

Интеграл расходится при , соответственно, расходится и ряд.

Расходимость ряда при можно установить и с помощью теоремы сравнения. Для справедливо неравенство , а гармонический ряд расходится. Значит, в силу теоремы сравнения при ряд расходится.

Пример. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Здесь общий член ряда имеет вид . Ему соответствует функция непрерывного аргумента и исследуем на сходимость несобственный интеграл .

, так как при , Значит, этот интеграл сходится, а с ним сходится и данный ряд.

Доказанная теорема позволяет сформулировать еще один признак.

Теорема (специальный признак сравнения). Пусть для всех и пусть при некотором существует предел: . Это значит, что при , здесь – порядок убывания . Другими словами, общий член ряда при ведет себя как . Тогда ряд сходится при и расходится при .