Тема: «метод координат в пространстве»

Три попарно перпендикулярные прямые, на которых выбрано направление и единичные отрезки, называются прямоугольной системой координат в пространстве.

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка – началом координат. Она обозначается буквой О. Оси координат обозначаются так: Ох, Оу. Их называют: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. Вся система обозначается Охуz.

Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Оz, Оz и Ох - координатные плоскости. Их обозначают Оху, Оуz, Оzх.

Точка О разделяет каждую из осей координат на 2 луча, один из них – положительная полуось, другой – отрицательная полуось.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются её координатами.

М (х; у; z), х – абсцисса, у – ордината, z- аппликата.

 

При решении задач в координатах применяют правила:

 

1. Если вектор  имеет координаты , то его можно разложить по координатным векторам

       где - координатные (базисные) векторы.

Базисные векторы записываются следующим образом:

Пусть даны векторы  и

2. Если , то

3.

4.  

5.

Скалярное произведение векторов:

Скалярное произведение векторов в координатах:

6. Признаки ортогональности и коллинеарности  векторов.

1) , если = 0 {векторы перпендикулярны (ортогональны), если их скалярное произведение (сумма произведений одноименных координат) равно нулю}.

 

2) , векторы параллельны(коллинеарные) если координаты векторов пропорциональны

Пусть даны векторы  и , если .

Вычисление координат середины отрезка

 и    - середина отрезка

Вычисление длины вектора по его координатам

Расстояние между двумя точками

  

Угол между векторами      и

Угол между прямыми, где     и  - направляющие векторы прямых

 

Примеры решения задач:

№1

Дано:

    

                               Решение

1) Находим координаты вектора          ;

2) Затем находим координаты вектора     

3) Теперь находим аналогично координаты вектора  

4) Теперь находим сумму данных векторов, складывая соответствующие координаты:

Ответ:  

№ 2

Дано:

    

; 2) .

                               Решение

1.

1) Находим координаты вектора                    ;

2) Затем находим разность векторов  

;

3) Теперь находим длину вектора :  

 

2.

1)   Находим координаты вектора

;

2) Находим координаты вектора

;

3) Затем находим сумму векторов  

;

4) Теперь находим длину вектора :

 

 

 

Ответ: