Практической работы № 12

Учебная дисциплина: Математика (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию).

Тема: «Выполнение действий над векторами».

Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Действия над векторами»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.

Норма времени: 80 мин.

Контрольные вопросы.

1. Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.

2. Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.

3. Скалярное произведение векторов.

4. Угол между векторами.

5. Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.

6. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка

Примеры и последовательность выполнения заданий.

Пример 1

Даны векторы ; ;

Вычислить |(2 + )| – 4(2 - )

Решение.

2    2

2 + 2 +

2 2

2 -   2 -  

4(2 - ) 4(2 - )

Так как 4(2 - )   - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения  получим:

4(2 - ) = 16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0

Тогда |(2 + )| – 4(2 - )  = + 0 =

Ответ: |(2 + )| – 4(2 - )  =

Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные:  и .

Решение.

У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:

, откуда

Ответ: m = -2, n = -2.5.

Пример 3.

Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.

Решение.

А(1; 2; 0)

В(5; -1; 3)

С(6; 5; 4)

1. Найдем координаты векторов , ,

2. Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.

-длина стороны АВ

-длина стороны ВС

-длина стороны АС

3. Найдем угол ВАС – это угол между векторами  и .

.

Ответ: ,

 

 

ВЫПОЛНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАНИЯ:

Вариант

1. Запишите координаты вектора:  = 3 +2 -5 ,  = -2 -3 +4 ,  = - ,  = 2 , = - +  и найдите скалярное произведение векторов  и .

2. Даны векторы {-3;-1;2}, {0;3;4}, {0;-1;0}, запишите разложение этих векторов по координатным векторам , , .

3. Найдите середину отрезка AC: A (6; 7; 8), C (4; 3; 2)

4. При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:    

5. Дан Δ ABC и координаты вершин треугольника: A(-5;2;-2), B(-4;3;0), C(-5;2;0).

Найдите:

а) их координаты; б) длины векторов ; в) углы между векторами и .

 

6. Найдите скалярное произведение векторов, используя формулу: 

 = | | | | . Если {1;2;2}, {-2;-1;-2}.

Вариант

1. Запишите координаты вектора:  = 2 +4 -3 ,  = -3 -2 +2 ,  = - ,  = 3 , =- -  и найдите скалярное произведение векторов  и .

2. Даны векторы {-4;2;1}, {3;4;0}, {0;0;-1}, запишите разложение этих векторов по координатным векторам , , .

3. Найдите середину отрезка BD:   B (8; 2; 6), D (2; 8; 4)

4.  При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:

5. Дан Δ KNM и координаты вершин треугольника: K(4;-3;0), N(5;-3;1), M(5;-5;-1). Найдите:

а) их координаты; б) длины векторов ; в) углы между векторами и .

 

6. Найдите скалярное произведение векторов, используя формулу: 

 = | | | | . Если {2;1;2}, {-1;-2;-2}.