Тригонометрические функции числового аргумента

Ранее было установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством точек единичной окружности. Каждому действительному числу α поставлена в соответствие точка М_α единичной окружности.

Пусть на плоскости выбрана прямоугольная система координат так, что ее начало совпадает с центром рассматриваемой единичной окружности, а единичная точка оси абсцисс совпадает с точкой А.

Пусть х_α, у_α — координаты точки М_α. Тогда каждому числу α поставлены в соответствие два числа х_α и у_α.. Число у_α. называется синусом α и обозначается sin α, а число х_α называется косинусом α и обозначается cos α.

Функция sin α, , называется синусом. Рис. 4.

Функция cos α, , называется косинусом.

Пример 1: Найти синус числа .

Решение: Так как , то этому соответствует та же точка М, что и числу . Опустим из точки М перпендикуляр MP на ось Ох (рис. 4), имеем | РМ | = у. В прямоугольном треугольнике РОМ длина гипотенузы ОМ равна 1 (так как окружность единичная), длина катета РМ равна (как катет, лежащий против угла в 30º). Следовательно, ордината точки М равна числу 0,5, т. е. у = 0,5.

Ответ: .

Пример 2: Найти sin 1,17.

Решение: См. «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса, стр. 62,

sin 1,17 ≈ 0,9208.

Тангенсом действительного числа α называется отношение и обозначается tg α.

Легко видеть, что tg α определен для всех действительных чисел .

Функция tg α, , называется тангенсом.

Котангенсом действительного числа α называется отношение и обозначается ctg α. Легко видеть, что ctg α определен для всех действительных чисел а .

Функция ctg α, , называется котангенсом.

Реже используются функции секанс и косеканс

Пример 3. Найти tg и ctg .

Решение. Числу на числовой окружности соответствует точка М, которая является концом дуги в 135°. Опустим из точки М перпендикуляр на ось Ох. Треугольник OMN прямоугольный и равнобедренный (рис. 5). Координаты точки М будут , . Следовательно,