Глава 5. Дискретная случайная величина

1 2 3

Раздел 2

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

· Дискретная случайная величина

· Непрерывная случайная величина

· Нормальный закон распределения

· Предельные теоремы теории вероятностей

Одним из основных понятий теории вероятностей является, наряду со случайным событием, понятие случайной величины.

• Случайная величина — это переменная, которая в результате испытания принимает одно из своих возможных значений, причем заранее не известно, какое именно, так как оно зависит от случая.

Связь случайной величины и случайного события заключается в том, что принятие случайной величиной некоторого числового значения из набора возможных (т. е. выполнение равенства )[1] есть случайное событие, характеризующееся вероятностью .

Примеры случайных величин:

• число очков, выпавших на верхней грани игрального кубика;

• число студентов, пришедших на лекцию;

• расстояние от центра мишени до точки попадания при выстреле;

• сумма выплаты по очередному страховому случаю и т. п.

Для определения случайной величины необходимо задать ее закон распределения.

• Закон распределения — соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями, с которыми случайная величина принимает эти значения.

Для практического применения не всегда необходимо иметь полное представление о случайной величине, достаточно знать некоторые ее числовые характеристики, дающие суммарное представление о случайной величине, к которым, прежде всего, относятся математическое ожидание и дисперсия.

• Математическое ожидание М(Х) — это число, характеризующее среднее значение случайной величины X.

Свойства математического ожидания:

· математическое ожидание постоянной величины С=const равно этой величине:

М(С)=С;

· математическое ожидание произведения постоянной величины С=const и случайной величины X равно произведению этой константы на математическое ожидание случайной величины (константу можно вынести за знак математического ожидания):

М(С*Х)=С*М(Х);

· математическое ожидание алгебраической суммы п случайных величин равно алгебраической сумме математических ожиданий этих случайных величин:

· математическое ожидание произведения n независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих случайных величин:

· математическое ожидание алгебраической суммы случайной величины Xи постоянной величины С=const равно алгебраической сумме этой константы и математического ожидания случайной величины:

в частности,

· математическое ожидание среднего арифметического значения n одинаково распределенных (имеющих одинаковые законы распределения) взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию этих величин:

• Дисперсия характеризует разброс или рассеяние значений случайной величины около ее математического ожидания.

• Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Свойства дисперсии:

· дисперсия постоянной величины C=const равна нулю:

· дисперсия произведения постоянной величины С=const и случайной величины X равна произведению квадрата этой константы на дисперсию случайной величины (константу можно вынести за знак дисперсии, возведя ее в квадрат):

· дисперсия алгебраической суммы или разности n независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих случайных величин:

· дисперсия алгебраической суммы случайной величины Х и постоянной величины С=const равна дисперсии случайной величины:

в частности,

· дисперсии суммы и среднего арифметического значения n одинаково распределенных (имеющих одинаковые законы распределения) взаимно независимых случайных величин , дисперсия каждой из которых равна , равны и соответственно:

· Формула упрощенного вычисления дисперсии имеет вид:

(1.32)

Действительно,

В зависимости от характера области возможных значений выделяют два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Глава 5. ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА

· Дискретная случайная величина — случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное, но счетное число отдельных изолированных значений (т. е. их можно перенумеровать натуральными числами).

Понятие дискретной случайной величины тесным образом связано с понятием случайного события, являясь в некотором смысле его обобщением. При определении дискретной случайной величины первичным понятием также является испытание, результат которого характеризуется не альтернативным исходом (появится событие или нет), а некоторым числом (числом появления события в серии независимых испытаний; числом очков, выбиваемых стрелком; числом вкладчиков, посетивших отделение банка за определенный период времени, и т. д.).

Для дискретной случайной величины простейшей формой задания закона распределения является ряд распределения, представляющий собой таблицу, в верхней строке которой указаны возможные значения , дискретной случайной величины Х, а в нижней — соответственно вероятности , того, что X примет значение :

			…
			…

При построении ряда распределения необходимо помнить, что:

1. , по свойству вероятности ;

2. , так как события , , …, составляют полную группу попарно несовместных событий.

• Графическое представление ряда распределения называется многоугольником (полигоном) распределения.

Рис. 7. Полигон распределения дискретной случайной величины Х

Для его построения возможные значения дискретной случайной величины Х откладываются по оси абсцисс, а соответствующие вероятности — по оси ординат; точки с координатами (; ) соединяются отрезками.