Наивероятнейшее число наступлений события

Число К_о (наступления событий в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления событий равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k раз, превышает или не меньше вероятности остальных возможных исходных испытаний. Наивероятнейшее число К_о определяется из двойного неравенства

                        (3.24)

Причем если часть выражения пр - q дробное, то существует одно наивероятнейшее число К_о. Если пр - q целое, то существует два наивероятнейших числа К_о и К_о +1; если число пр целое, то наивероятнейшее число К_о = пр.

В тех случаях, когда вероятность Р появления события А из опыта к опыту меняется, определение вероятности появления события А ровно k раз из группы п независимых опытов производится на основании общей теоремы о повторении опытов

(3.25)

т.е. искомая вероятность равна сумме всех возможных произведений, в которых р с разными индексами входит k раз, а q с разными индексами (п - k) раз. Для того чтобы чисто механически составлять все указанные возможные произведения, используют производящую функцию.

Производящей функцией вероятностей Р_п(k) называют функцию, определяемую равенством

   (3.26)

Вероятность Р_п(k) того, что в п независимых испытаниях, в первом из которых вероятность появления события А равна р ₁, во втором р ₂ и т.д., событие появляется ровно k раз, равна коэффициенту при z^k в разложении производящей функции по степени z.

Например, при п = 2

Здесь коэффициент p ₁ p ₂при z ² равен вероятности p ₂(2) того, что в двух испытаниях событие А появиться 2 раза, коэффициент р ₁ q ₂ + p ₁ q ₂при z ¹ равен вероятности p ₂(1) того, что событие А появиться 1 раз, коэффициент при z ⁰, т.е. свободный член q ₁ q ₂равен вероятности p (0) того, что событие А не появиться ни одного раза.