Законы дискретных распределений случайной величины

Для дискретных случайных величин функция распределения имеет вид:

F (x) = S P (X=x_i), (3.28)

где x_i – значения случайной величины;

Р – вероятности появления данного значения.

Когда текущая переменная х проходит через одно из возможных значений дискретной величины Х, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения. Сумма всех возможных скачков функции F (x) равна единице. График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую кривую (рис. 3.1, б)

В задачах надежности из дискретных распределений наиболее часто используют биномиальное распределение и распределение Пуассона.

Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины числа х появления событий K раз в n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событий равна Р.

Вероятность того, что событие наступит ровно K раз (безразлично, в какой последовательности) определяется по формуле Бернулли:

(3.29)

или

, (3.30)

где q = 1 – p – вероятность непоявления события в каждом испытании.

Если число испытаний n велико, а вероятность появления событий р в каждом испытании мала, то используется формула

, (3.31)

где а = np – среднее число (математическое ожидание) событий в n испытаниях.

Распределение дискретной случайной величины Х, описываемое последней формулой, называется распределением Пуассона.

Биноминальное распределение имеют, например, отказы восстанавливаемых объектов в течение заданного периода времени.

Пример. На шахте работают шесть конвейеров с турбомуфтами. Вероятность безотказной работы одной турбомуфты в течение четырех месяцев q = 0,8. Найти вероятность выхода из строя в течение четырех месяцев нуля, одной, двух, трех и четырех муфт:

Пример. Цепь скребкового конвейера СП-63 имеет n = 200 соединительных звеньев. Вероятность выхода из строя соединительного звена в течение суток р = 0,01 (q = 1 – 0,01 = 0,99). Определить вероятность порыва в течение суток четырех звеньев:

А = nр = 200 × 0,01 = 2;