Отношения логического следования и равносильности

Математические доказательства

План занятия:

1. Отношения логического следования и равносильности.

2. Понятие теоремы. Виды теорем.

3. Понятие умозаключения.

4. Схемы дедуктивных и недедуктивных умозаключений.

Литература:

1. Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики, § 2, п. 10-12, § 3, п. 13-14.

Отношения логического следования и равносильности

Любое рассуждение не обходится без слов «следовательно», «из данного предложения следует», «отсюда вытекает». Утоним смысл этих понятий и отношений.

Из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, истинно и предложение В. Обозначается А  В.

С: «Число делится на 4»

Д: «Число делится на 2»

С  Д: «Если число делится на 4, то число делится на 2», (и)

Д  С: «Если число делится на 2, то число делится на 4», (л)

Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны. Обозначается А  В.

М: «Равнобедренный треугольник»

N: «Треугольник, в котором углы при основании равны»

М  N: «Если треугольник равнобедренный, то в нём углы при основании равны», (и)

N  М: «Если в треугольнике углы при основании равны, то треугольник является равнобедренным», (и)

М  N, N  М – М  N

Если из предложения А следует предложение В, то говорят, что В — необходимое условие для А, а А — достаточное условие для В.

А=>В
А — достаточное условие для В	В — необходимое условие для А

Если предложения А и В равносильны, то говорят, что А — необходимое и достаточное условие для В, а В — необходимое и достаточное условие для А.

А  В
А – необходимое и достаточное условие для В	В – необходимое и достаточное условие для А

Примеры:

А: «Число x делится на 2»

В: «Число х делится на 10»

С: «Запись числа х оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8»

1) А  В: «Если число x делится на 2, то число х делится на 10», (л)

В  А: «Если число х делится на 10, то число x делится на 2», (и)

Вывод: между предложениями А и В существует отношение следования В  А. Значит, В – достаточное условие для А, а А – необходимое условие для В».

В  А

д   н

«Для того чтобы число делилось на 10, необходимо, чтобы оно делилось на 2».

«Для того чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось на 10».

2) А  С: «Если число x делится на 2, то запись числа х оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8», (и)

С  А: «Если запись числа х оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6, 8, то число x делится на 2», (и)

Вывод: между предложениями А и С существует отношение равносильности: А  С, С  А, значит А  С. Значит, С – необходимое и достаточное условие для А, а А – необходимое и достаточное условие для С».

А  С

нд     нд

«Для того чтобы число х делилось на 2, необходимо и достаточно, чтобы запись числа х оканчивалась цифрами 0, 2, 4, 6, 8».

«Для того чтобы запись числа х оканчивалась цифрами 0, 2, 4, 6, 8, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2».