Тема: Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница

Урок №67

Тема: Решение упражнений по теме «Правила вычисления первообразных»

А) Сформулируйте определение первообразной
Б) Сформулируйте признак постоянства функции
В) Сформулируйте основное свойство первообразных
Г) Продолжи фразу «Дифференцирование – это ….»
Д) Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга …….
Е) В этом заключается?…

2. Найти общий вид первообразных для функции:

А) f(x) = 1
Б) g(x) = x +1
В) f (x) = сos (3x + 4)
Г) g (x) = 2 cosx + 4
Д) g (x) =sin x + cos x
Е) F (x) = (x + 1)³

3. Среди заданных функций выберите первообразную для функций у = - 7х ³

G(x) = - 21x²

F(x) = - 7x 4

H(x) = - 7/4x4

f(x) = 2 /x - 2	f (x) = x +1	f (x) = (x + 1)4	f (x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1	f(x) =5	f(x) = -7x + 4	f(x) = 1 – cos3x

Составить кроссворд по предложенным вопросам:

Ваш

2.  Что является графиком функции у = ах + b.

3. Самая низкая школьная оценка.

4. Какой урок обычно проходит перед зачетом.

5. Синоним слова дюжина.

6. Есть в каждом слове, у уравнений и может быть у уравнений.

7. Что можно вычислить по формуле a b.

8. Одно из важнейших понятий математики.

9. Форма урока, на котором проводится проверка знаний.

10. Немецкий ученый, который ввел интегральное исчисление.

11. Множество точек плоскости с координатами (х; у), где х пробегает область определения функции f.

12. Соответствия между множествами Х и У, при котором каждому значению множества Х поставлено в соответствие единственное значение из множества У, носит название…

При правильном разгадывании кроссворда под цифрой 1 по вертикали прочитайте ключевое слово.

Укажите первообразную F функции f(x) = 3sin x, если известно, что F(П) = 1.. Самостоятельная работа.

Часть А

А1. Среди данных функций выберите ту, производная которой равна f(x) = 20x⁴.

1). F(x) = 4x²
2). F(x) =5x⁵
3).F(x) = x⁵
4). F(x) = 80x³

A2. Найдите общий вид первообразных для функции f(x) = 4x³ – 6

1). F(x) = x⁴ -6x + 5
2).F(x) = x⁴ - 6x + C
3).F(x) = 12x² + C
4). F(x) = 12x² – 6

5.  Для функции f(x) = 10 sin 2x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (-3/2П; 0)

Домашнее задание

Для функции f(x) = 6/cos23x + 1найддите первообразную, график которой проходит через точку М (П/3; П/3).

1) F(x) = 2 tg 3x + x +П/3
2) F(x) = 2 tg 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + П/3
4) F(x) = 6 tg 3x + x

2.. Функция F(x) является первообразной для функции f(x) = x5 – 3x2 – 2. Найдите F(1), если F(- 1) = 0.

В2. Исправить ошибку:

а) F(x) = x⁵, a f(x) = 1/6x6
б) F(x) = 4x – х³, a f(x) = 1/6x6
в) F(x) = sin x, a f(x) = - cos x
г) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
д) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 на (0; +)
ж) Для функции f(x) = 10 sin 2x найдите первообразную, график которой проходит через точку М (-3/2П; 0)

 

 

Объяснение нового материала:

1.: sin'x=cosx; (x²)'= 2x. Вопрос: можно ли исходя из этих равенств, указать какие -либо первообразные функции cosx и 2x?.

 (sinx + x²)'= sin'x+(x²)'=cosx+2x.

Вопрос: укажите хотя бы одну из первообразных функции cosx+2x.

Оказалось, что в качестве первообразной для суммы функций cosx и 2x можно взять №342, 343, 345

Вариант 1. Найдите первообразную функции h(x)= x⁵+3x³. Сделайте проверку путем дифференцирования полученной в ответе функции.

Примерное оформление решения:

1. h(x) =x⁵+3x³= f(x)+ 3g(x), где f(x)= х⁵, g(x)=х³.

2. Функция Одна из первообразных

х⁵ х⁶/6

х³ х⁴/4

3х³ 3х⁴/4

х⁵+х³ х⁶/6+3х⁴/4.

3. H(x) = х⁶/6+3х⁴/4.

4. Проверка: H'(x) = (х⁶/6+3х⁴/4)' = 6 х ⁵ +4 х³ = х⁵+х³. H'(x)=h(x).

Аналогично найдите первообразную функции f(x)= 2x+x².

3.. Для функции g(x) =4x³+x найдите какую — либо первообразную.

Примерное оформление решения:

1. g(x) =4x³+x = 4 f(x)+h(x), где f(x)= x³, h(x)=x.

2. Функция Одна из первообразных

х³ х⁴/4

4х³ 4х⁴/4= х⁴

х х²/2

4х³+х х⁴+х²/2

3. G(x)= x⁴+ x²/2

Аналогично найдите первообразную для функции g(x) = 3x⁵ -x.

4. Найдите первообразную функции f(x) = 13x⁴ -7х^6.

Примерное оформление решения:

1)f(x)= 13x⁴ -7x⁶= 13g(x)- 7h(x), где g(x) =x⁴, h(x)=x⁶.

2) Функция Одна из первообразных

х⁴ х⁵/5

13х⁴ 13х⁵/5

х⁶ х⁷/7

-7х⁶ -7х⁷/7= - х⁷

13х⁴ — 7х⁶ 13х⁵/5 - х⁷

3) F(x)= 13х5/5 — х⁷

Аналогично найдите первообразную функции t(x)= 4x⁶ -15x⁹.

5. Найдите первообразную функции g(x) =

. 6. Найдите одну из первообразных функции f(x)= x/√x+8x и запишите общий вид первообразных этой функции.

Примерное оформление решения:

1. f(x)= x/√x+8x = g(x)+8h(x), g(x)= x/√x= x/x^1/2 = x^1/2, h(x)=8x

2. Функция Одна из первообразных

х^1/2 х^3/2 = 2х^3/2

3/2 3

х х²/2

8х 8х² /2=4х²

х^1/2+ 8х = 2/3х^3/2+4х²

1. F(x) = 2/3х^3/2+4х²

2. Общий вид: F(x) = 2/3х3/2+4х²+С

3. Найдите аналогично первообразную функции g(x)= 5 + x ²/√x и запишите общий вид первообразных этой функции.

4. Найдите общий вид первообразных функции f(x) = x²/√x -2x².

Примерное оформление решения:

1) f(x)= x²/√x -2x² = g(x) – 2h(x), где g(x) = x²/√x = x²/x^1/2= x^1,5, h(x) =x².

2) Функция Одна из первообразных

х^1,5 х^2,5/2,5

х² х³/3

-2х² -2х³/3

х^1,5-2х² х^2,5/2,5- 2х³/3

3) Общий вид: х^2,5/2,5- 2х³/3+С

Аналогично найдите общий вид первообразных функции g(x)= 1/√x-2√x/x

Вариант 1.

1. Найдите первообразную функции f(x)= (2x+9)⁵.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте функцию f как композицию двух функций: g(x)= 2x+9; h(x) = (2x+9)⁵.

2) Задайте с помощью формулы функцию h (внешнюю): h(x)=x⁵.

3) Найдите первообразную функции h: H(x) =х⁶/6.

4) Найдите коэффициент k линейной функции и составьте первообразную сложной функции, у которой внешняя функция h, внутренняя — g(x) =2x+9: k=2, F(x)= 1/2(2x+9)⁶/6=(2x+9)6:12.

2. Найдите первообразную функции g(x)= (4x-6)⁴.

Вариант 2.

1) Найдите первообразную функции g(x)= (-4x+13)⁷.

План и примерное оформление решения:

1) Представьте функцию g как композицию двух функций: h(x)= -4x+13; f(x) = (-4x+13)⁷.

2) Задайте с помощью формулы функцию f (внешнюю): f(x)=x⁷.

3) Найдите первообразную внешней функции f(x)= x⁷: F(x) =х⁸/8.

4) Найдите коэффициент k линейной функции и составьте первообразную сложной функции, у которой внешняя функция f, внутренняя — h(x) =-4x+13: k=-4, G(x)= -1/4(-4x+13)⁸/8=

(-4x+13)⁸:32.

2. Найдите первообразную функции fx)= (-7x+3).

Задания для любознательных:

Вариант 1. Найдите первообразную:

1. f(x) = 4x³+1,5x-3 Варианты ответа: х⁴+3х²; х⁴+3х²- 3х; х⁴+3х²/4-3х.

2.g(x)= (4-7x)⁵ Варианты ответа: -1/42(4-7х)⁶; 1/42(4-7х)⁶; 1/6(4-7х)⁶.

Вариант 2.

1.f(x) = 2x⁵-8x³+1 Варианты ответа: 1/3х⁶-2х⁴+х; 10х⁴-24х²; х⁶/3-2х⁴

2.g(x)= x^-2+√x. Варианты ответа: х^-1+ 3/2х^3/2; х^-1+ 2/3х^3/2; -х^-1+2/3х^3/2.

Вариант 3. Найдите первообразную:

1. h(x)= 0,1x +2/3x²-5. Варианты ответа: 0,1+2х²; 0,05х²+1/6х⁴-5х; 0,025х²+8/3х⁴-5х.

2. t(x)= (5+2x)³. Варианты ответа: 1/8(5+2х)⁴; 1/2(5+2х)⁴; 1/4(5+2х)⁴.

3. Решить самостоятельно:

1. f(x) = х⁵

2. f(x)= х²- х⁵

3. f(x) = Зх² - 7

4. f(x)= sin х + 3

5. f(x) = cos x -6x

6. f(x)= (2х-7)⁶

Домашнее задание. Решить:

1. 1. f(x) = -3 х⁶

2. 2. f(x) = cos х - 3

3. 3. f(x) = sin (2x+3)

4. 4. f(x)= 5x /sin²x

5. 5. f(x)= 2х³ + 5х

6. 6. f(x)= (3х-5)(3х+1)

7. §55; стр. 296 № 990 (2, 4, 6), № 991 (2, 4, 6, 8), №993 (2;4) ( прокомментировать);

Рефлексия результативности

Что сегодня изучали?

Чему научились?

Что повторили?

Есть ли чувство удовлетворения от урока?

Урок № 68

Тема: Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

  «Высшее назначение математики … состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает» (Норберт Винер)

Обратную операцию нахождения первообразной для данной функции называют интегрированием (от латинского слова integrare – восстанавливать). Таблицу первообразных для некоторых функций можно составить, используя таблицу производных

Мы продолжаем изучение темы «Интеграл». Что мы знаем и умеем на данный момент? Мы знаем определение первообразной, ее свойство, умеем применять таблицу и правила первообразных. Если провести аналогию с изучением производной, то, как вы считаете, какую тему, связанную с первообразной мы еще недостаточно закрепили? Конечно, правила нахождения первообразных. Поэтому, это и будет темой нашего урока. Как вы думаете, чему мы будем сегодня учиться? (находить первообразные с помощью правил). Что нам для закрепления необходимо повторить? (определение и таблицу первообразных). Поэтому план урока сегодня такой: мы повторим пройденный материал, закрепим его, и в конце урока проверим уровень усвоения материала.