Локальная теорема Муавра – Лапласа

Тема 4. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно. Под испытанием понимается осуществление определенного комплекса условий, в результате которых может произойти (или нет) то или иное событие пространства элементарных событий.

· Повторные независимые испытания — многократные испытания, в которых вероятность появления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний. Впервые схема независимых испытаний была рассмотрена Я. Бернулли[1] для важнейшего частного случая k=2.

· Под схемой Бернулли понимают проведение серии в n испытаний, в каждом из которых возможны два исхода: либо наступит событие А, либо не наступит, т. е. произойдет противоположное ему и при этом:

1) все п испытаний независимы;

2) вероятность события А в каждом отдельном испытании постоянна и не меняется от испытания к испытанию:

Пример. К случайным событиям, удовлетворяющим условиям схемы Бернулли, относятся: многократное подбрасывание монеты (событие А – например, выпадение «орла»), многократная стрельба по мишени (событие А – например, попадание в мишень) и т. п.

Формула Бернулли

В случае небольшого числа испытаний n вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется в соответствии с формулой Бернулли:

(1.24)

где n – число испытаний Бернулли;

m – число испытаний, в которых наступило событие А;

q=1-p – вероятность противоположного события ;

– число сочетаний из n элементов по m (1.6).

Доказательство.

Обозначим через появление события А в i-м испытании. Вероятность того, что А, наступают при определенных m испытаниях (например, с номерами ), а при остальных n-m не наступает, равна:

По теореме сложения вероятностей для несовместных событий (1.13), искомая вероятность равна сумме вероятностей полученного значения для всех возможных способов m появлений события А в n испытаниях. В соответствии с правилами комбинаторики, число таких способов определяется числом сочетаний из n по m (1.6):

При вычислении вероятностей в условиях большого числа испытаний n можно столкнуться со значительными вычислительными трудностями. В связи с этим возникла необходимость в построении асимптотических (приближенных) формул, позволяющих с достаточной степенью точности определить . Одними из них являются теоремы Муавра – Лапласа[2]

Локальная теорема Муавра – Лапласа

При большом числе испытаний вероятности наступления события А в каждом испытании р, отличной от 0 и 1, и при выполнении условия , вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, определяется соответствии с локальной теоремой Муавра — Лапласа:

(1.25)

где n — число испытаний Бернулли;

m — число испытаний, в которых наступило событие А;

р=Р(А) — вероятность наступления события А в каждом испытании;

q=1-р — вероятность противоположного события ();

— функция Гаусса (табл. 7 Приложений).

Функция Гаусса представляет собой плотность стандартного нормального закона распределения и будет рассмотрена более подробно в гл. 7 «Нормальный закон распределения». Здесь отметим только ее основные свойства, необходимые для применения рассматриваемой теоремы.