Отработка применения формул

Тема урока: «Косинус и синус суммы и разности аргументов».

Цель урока: познакомить обучающихся с формулами синуса, косинуса суммы и разности аргументов, развивать умения применения этих формул.

Задачи урока урока:

• Создать условия для формирования у обучающихся представлений о формулах для косинуса и синуса суммы и разности двух аргументов;
• Создать условия для мотивации обучающихся в изучении формул синуса и косинуса суммы и разности аргументов;
• способствовать формированию умений в применении нового и ранее изученного материала, при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений;
• способствовать формированию таких качеств личности как ясность и точность мысли, самоконтроль;
• продолжить формировать представления о математике как части общечеловеческой культуры и ее связи с другими науками.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, доска, мел.

ХОД УРОКА

I.Организационный момент.

Доброе утро. Сегодня мы с вами продолжаем работу с тригонометрическими выражениями. Предлагаю вам устную работу.

 

«Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий.»

Пифагор

1I. Повторение.

1)Устная работа:

^{Определить знак тригонометрических функций}

¹⁾ Sin 194, ctg π/6, cos 2π/3,) tg -3п/4

 

2).Упростить:

а)cos (3π/2 + α) =; б) tg(360⁰ – α) =;

в) sin (π – α) =; г) sin(π/2 + α) =;

д) tg (2π + α) =; е) cos (π/2 – α) =;

ж) ctg (π/2 + α) =; з) tg (π + α) =.

3)Математический диктант

4). Вычислите: (работа на доске и в тетрадях)

а) cos 30^o = б) – 2 tg² 45⁰ =

в) а sin 180⁰ = г) 2sin 30⁰ =

д)sin 75⁰ =

Почему мы не можем вычислить задания д?
Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 75 градусов?

Чтобы вычислить sin 75⁰, надо применить формулу синус суммы. Эти формулы также применяются в физике.

Задача №1

На практике часто приходиться двухфазный или трехфазный ток направлять в один проводник. При этом возникает, как показал опыт, "суммарный" переменный ток, мгновенная сила которого равна сумме мгновенных сил слагаемых токов. Точную величину амплитуды "суммарного" тока, его частоту и фазу смещения не найти, не рассмотрев предварительно свойств тригонометрических функций, связанных со сложением аргументов.
При частоте гармонического тока ν = 50 Гц его круговая частота равна 2 ν, т.е. 314 1/с. Если данный процесс происходит в единой ветви, то результирующий ток, например в фазе , будет складываться из токов: i₁, i₂, i₃.

Задача №2 При переходе светового луча из одной среды в другую происходит его преломление, т.е. отклонение от первоначального направления, причем коэффициент преломления равен отношению sin α₁' sin α₂, где α₁ – угол падения луча на границу сред, α₂ – угол отклонения. При конструировании оптических приборов приходится решать задачи подобные следующей: как надо направить луч на границу двух сред, чтобы угол падения луча превышал угол преломления на данную величину?
Если коэффициент преломления равен n, а угол падения больше угла преломления на α^о, то отыскание искомого угла падения х сводится к решению уравнения sinx/sin(x – α) = n, которые нельзя решить без знания теорем сложения.

Тема нашего урока « Косинус и синус суммы и разности двух углов». Запишите в тетради.

Изучение новой темы

Примем изначально без доказательства формулы синуса и косинуса суммы аргументов

 

На основании данных формул будут выведены практически все остальные формулы тригонометрии.

Синус суммы двух аргументов равен произведению синуса первого аргумента на косинус второго плюс произведение косинуса первого аргумента на синус второго.

Косинус суммы двух аргументов равен произведению косинусов этих аргументов минус произведение синусов этих аргументов.

Выведем формулу синуса разности двух аргументов

а) Заменив у на – у получим: sin(х – у) = sin (х +(-у)) = sinх ∙ cos(-у) + cosх ∙ sin(-у)

sin (х – у) = sinх · cosу – cosх · sinу

б) Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:

cos (х + у)= sin (90^o – (х + у)) = sin ((90^o – х) – у) = sin (90^o – х) sinу – cos (90^o – х) sinу = cosх ·cosу – sinх · sinу

cos(х + у) = cosх ∙ cosу – sinх ∙ sinу

в) cos (х – у) = cos(х+ (-у)) = cosх ∙ cos(-у) – sinх ∙ sin(-у) = cosх ∙ cosу + sinх ∙ sinу

cos (х – у) = cosх ∙ cosу + sinх ∙ sinу

Доказательства этих теорем есть в учебнике. Вы можете с ними ознакомиться дома.

Отработка применения формул.

1.Вычислите (один ученик у доски, другие в тетрадях):

а) sin 75^o = sin (45^o + 30^o) = sin 45^o · cos30^o + cos 45^o · sin 30^o = (решение разобрано полностью на слайде)

б) sin 15⁰ = sin(45⁰ – 30⁰) = sin45⁰ ∙ cos30⁰ – cos45⁰ ∙ sin 30⁰

в) cos105⁰ = cos(60⁰ + 45⁰) =(решают на доске и в тетрадях)

2 учащихся работают на местах работа по карточкам (индивидуально)

Карточка №1 sin ( + х) = – sinx, cos 15⁰ =
Карточка №2 cos ( + х) = – cosx? sin 105⁰=

Решение:

sin ( + х) = sin · cosx + cos · sinx = 0 · cosx + (– 1) · sinx = – sinx
cos ( + х) = cos · cosx + sin · sinx = (– 1) · cosx – 0 · sinx = – cosx

в) Вычислите: sin (x + y), если известно, что

sin x = 3/5, 0 < x < /2; cos y = – 3/5, < y < 3 /2

На доске решает один ученик, остальные в тетрадях.

Решение:

Oтвет: –1