Обобщение теоремы Вивиани для правильных многоугольников

Теорема Вивиани интересна многочисленными ее доказательствами, а также она полезна при обучении геометрии. Существуют различные интересные задачи, требующие применения этой теоремы. Например, такая: остров имеет форму равностороннего треугольника, где нужно разместить кабинку для переодевания, чтобы сумма расстояний до трех пляжей была минимальной?…. Удивительно, что неважно, в каком месте. Все точки треугольника удовлетворяют требуемому свойству.

А теперь приведу доказательство теоремы Вивиани.

В равноугольный многоугольник — это многоугольник, чьи углы при вершинах равны. Если при этом равны и стороны, то получается правильный многоугольник.

Единственным равноугольным треугольником является правильный треугольник. Только прямоугольники, включая квадрат, являются равноугольными четырёхугольниками.

В равноугольном n -угольнике каждый угол равен. Это теорема о равноугольных многоугольниках.

Для равноугольных многоугольников верна теорема Вивиани:

Сумма расстояний от внутренней точки до сторон равноугольного многоугольника не зависит от расположения точки и является инвариантом многоугольника.

Прямоугольник (равноугольный четырёхугольник) с целыми длинами сторон можно разделить на единичные квадраты, а равноугольный шестиугольник с целыми длинами сторон можно разделить на правильные треугольники. Некоторые, но не все, равноугольные двенадцатиугольники можно разложить на комбинацию единичных квадратов и равносторонних треугольников. Остальные можно разложить на эти два вида фигур с дополнительными ромбами с углами 30 ° и 150 °.

Вписанный многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда чередующиеся стороны равны (то есть, стороны 1, 3, 5,... равны и стороны 2, 4,... тоже равны). Таким образом, если n нечётно, циклический многоугольник равноуголен в том и только в том случае, когда он правильный.

Для простого числа p любой равноугольный p -угольник с целыми сторонами является правильным. Более того, любой равноугольный p^k -угольник с целыми сторонами имеет p -кратную вращательную симметрию.

Теорема Вивиани (для правильных многоугольников)
В правильном n-угольнике сумма расстояний перпендикуляров от внутренней точки к n сторонам равна произведению n на апофему многоугольника.

Вложение:

Глава 2. Нахождение точки, сумма расстояний от которой до сторон четырехугольника является минимальной.

Точка, сумма расстояний от которой до сторон параллелограмма наименьшая

В рамках исследования в динамической среде «» были построены соответствующие динамические модели произвольного параллелограмма и ромба. В результате эмпирического исследования был сделан следующий вывод: «Сумма расстояний от любой внутренней точки любого параллелограмма до всех его сторон – постоянная величина».

Рисунок

Это утверждение верно для любого параллелограмма, в том числе и для его частных случаев: квадрата, прямоугольника и ромба.