Рисунок. Квадрат, ромб, прямоугольник

Сумма расстояний от произвольной точки внутри параллелограмма до его противоположных сторон равна высоте параллелограмма, а сумма расстояний до каждой пары параллельных сторон равна сумме его высот, так как это расстояние измеряется отрезком, перпендикулярным сторонам параллелограмма.

Доказательство:

Рассмотрим параллелограмм ABCD и возьмем любую точку внутри параллелограмма, проведем из нее перпендикуляры до сторон параллелограмма. По определению параллелограмма его противоположные стороны параллельны, следовательно расстояния от точки О до сторон AB и CD и до сторон AD и BC, являются высотами параллелограммов. Сумма высот параллелограмма постоянна. Что и требовалось доказать.

Таким образом, сумма расстояний от любой внутренней точки любого параллелограмма до всех его сторон – постоянная величина и она равна сумме высот параллелограмма.

Точка, сумма расстояний от которой до сторон равнобедренной трапеции наименьшая

Точка, сумма расстояний от которой до сторон равнобедренной трапеции наименьшая, находится на меньшей диагонали. При чем в каждой это значение является постоянным в любой точке меньшего основания, включая вершины при этом основании.