Равнобедренная трапеция

Доказательство:

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Продолжим стороны AC и BD до их пересечения в точке E. Получили равнобедренный треугольник – ABE. Треугольник CDE также является равнобедренным, причем остроугольным. ГМТ точки, сумма расстояний от которой до сторон равнобедренного треугольника является наименьшей, находится в любой точке основания треугольника и является величиной постоянной, в данном случае на стороне CD, точка О совпадает с точкой Н. Сумма расстояний до сторон трапеции равна тогда MH + NH + PH.

Треугольник ABE также является равнобедренным, значит, сумма расстояний до сторон этого треугольника будет минимальной в любой точке принадлежащей основанию AB и будет равна: FP+FK+PH

Так как, MH FP NH и MH FP NH< , то MH + NH + PH < FP+FK+PH. Следовательно, это расстояние будет минимальным.

Точка, сумма расстояний от которой до сторон прямоугольной трапеции наименьшая

Точка, сумма расстояний от которой до сторон прямоугольной трапеции наименьшая, находится в вершине прямого угла при наименьшем основании.

Рисунок

Доказательство:

Рассмотрим прямоугольную трапецию ABCD. Продолжим стороны AC и BD до пересечения в точке E. Получим два прямоугольных треугольника ABE и ACD. ГМТ точки, сумма расстояний от которой до сторон минимальна, вершина прямого угла, при этом само расстояние равно высоте, проведенной из вершины прямого угла. В треугольниках ABE и ACD это соответственно MN и AX, причем MN<AX. Следовательно, наименьшее расстояние до сторон прямоугольной трапеции – это высота MN, а ГМТ этой точки является вершина прямого угла при меньшем основании.