Линейный физический закон

В упругом анизотропном теле каждый из компонентов напряжений может зависеть от всех составляющих деформаций:

……………………………

Ограничиваясь малыми деформациями, связь между напряжениями и деформациями можно принять линейной:

…………………………………………..

где А ₁₁, А ₁₂,…, А ₆₆ – жесткости линейно-упругого состояния тела (упругие жесткости). Эти зависимости называются уравнениями обобщенного закона Гука в прямой форме. Прообразом является физический закон, обнаруженный Р. Гуком из опыта при одноосном напряженном состоянии тела.

Обратные соотношения имеют вид

…………………………………………..

где B ₁₁, В ₁₂,…, B ₆₆ – податливости линейно-упругого состояния тела (упругие податливости). Чем больше А_ij, тем (при неизменности деформаций) бóльшими будут напряжения, т.е. тем жестче тело. Чем больше В_ij, тем (при неизменности напряжений) бóльшими будут деформации, т.е. тем податливее тело.

Обобщенный закон Гука можно представить в матричной форме:

где – вектор напряжений; – вектор деформаций;

Матрица D называется матрицей упругих жесткостей (матрицей упругости). Обратная матрица D ^-1по смыслу является матрицей упругих податливостей.

Поскольку упругому телу присущи обратимые процессы деформирования, то при использовании потенциальной функции напряжений можно обнаружить, что А_ij = А_ji. Следовательно, коэффициенты, расположенные симметрично относительно главной диагонали матрицы, попарно равны между собой. Тогда в анизотропном теле число упругих постоянных оказывается равным 21.

Предположим, что одна из координатных плоскостей, например, плоскость хОу, является плоскостью симметрии упругих свойств. Тогда следует заменить τ _xz и τ _yz на (–τ _xz) и (–τ _yz) соответственно, а γ _xz и γ _yz – на (–γ _xz) и (–γ _yz). При неизменности физических соотношений ряд коэффициентов обращается в нуль:

A ₁₅= A ₁₆= A ₂₅= A ₂₆= A ₃₅= A ₃₆= A ₄₅= A ₄₆= 0.

Так, число упругих постоянных при наличии только одной плоскости симметрии сокращается до 13.

В случае, если через каждую точку тела проходят три ортогональные плоскости симметрии упругих свойств (ортотропное тело), число независимых постоянных снижается до 9 (А ₁₄= А ₂₄= А ₃₄= А₅₆= 0).

Примерами ортотропных материалов служат дерево, фанера, железобетон, армированные пластики, холодный прокат черных металлов.

В случае полной симметрии (изотропное тело), когда любая плоскость есть плоскость упругой симметрии, имеем следующие физические уравнения:

Упругие постоянные E, v и G взаимосвязаны. Это можно показать на примере вычисления деформации сдвига

при совмещении осей x и y с главными осями 1 и 2:

Имея в виду, что получаем

Следовательно, изотропное тело имеет две упругие постоянные, в качестве которых можно принять, например, модуль продольной упругости Е и коэффициент Пуассона v. Величина G называется модулем сдвига.

Запишем выражения для напряжений:

С учетом этих зависимостей вычислим удельную потенциальную энергию деформаций путем интегрирования

в пределах от 0 до ε_x,… при

где:

Выразив деформации через напряжения, получим

По физическому смыслу упомянутое выше интегрирование сводится к вычислению площадей треугольников на линейном участке диаграммы "напряжение − деформация", ограниченном деформациями ε _x,…,γ _zx соответственно:

Следовательно, удельная потенциальная энергия деформации, накапливае-мая в упругом теле, равна полусумме произведений компонентов напряжений на соответствующие им компоненты деформации. Этот факт тесно связан с энергетической теоремой Клапейрона для линейно деформирующегося тела, в связи с чем соответствующую зависимость называют формулой Клапейрона.

Введем величины и и предста-вим рассматриваемую энергию в виде двух составляющих.