Соотношения пластичности

 

При одноосном напряженном состоянии условие пластичности устанавли-вается опытным путем. В этом случае отлично от нуля только главное напря-жение σ₁ и пластические деформации появля­ются при σ₁ = σ _y. При чистом сдвиге условие пластичности, полу­чаемое также опытным путем, имеет вид τ = τ _y, где τ _y – предел текучести при чистом сдвиге.

В случае плоского или объемного напряженного состояния при бесконечном множестве соотношений между компонентами напряжений очевидность наступления пластичности исчезает. Остает­ся гипотетический путь с последующей экспериментальной про­веркой.

Появляющиеся с момента наступления текучести линии Людерса – Чернова согласуются с расположением наибольших деформаций сдвига. Это способ-ствовало утверждению критерия наибольших ка­сательных напряжений и соот-ветствующего условия пластичности Треска – Сен-Венана: пластические деформации возникают, когда максимальные касательные напряжения дости-гают величины предела текучести при чистом сдвиге (τ_max = τ _у).

Поскольку

τ_max = (σ₁ –σ₃) /2,

то, подставляя сюда главные напряжения при одноосном напряжен­ном состоянии (σ₁=σ _y, σ₃ = 0), получаем

τ_max = σ _y /2.

Сравнивая эту формулу с условием пластичности τ_max = τ _у,

заключаем, что

τ _y = σ _y /2.

Условие пластичности Треска – Сен-Венана принимает вид

σ _red = σ₁ – σ₃ =σ _y,

где: σ _red – приведенное напряжение. Его следует понимать как напряжение в условиях одноосного напряженного состояния, эквивалентное по своему эффекту напряжениям при плоском или объемном напряженном состоянии.

Связь напряженного состояния с накоплением потенциальной энергии деформации явилась предпосылкой энергетических крите­риев предельного состояния материала. Начало такого рода критериям положил в 1886г. итальянский ученый Э. Бельтрами, полагавший необходимость учета полной энергии деформации, что оказалось справедливым лишь при σ₀ > 0.

В 1904 г. М. Губер предложил в качестве критерия предельного состояния материала удельную энергию изменения формы. Р. Мизес и Г.Генки приняли ее для формулировки условия пластичности: пластическое состояние материала наступает, когда удельная энергия изменения формы становится равной такого рода энергии при одноосном растяжении образца в момент достижения предела текучести.

Выражение последней имеет вид

Следовательно, условие пластичности Губера – Мизеса – Генки имеет вид

или

По результатам оно достаточно близко к условию Треска-Сен-Венана. Эксперименты несколько лучше подтверждают условие Губера – Мизеса Ген-ки, которое, кроме того, менее громоздко с математической точки зрения (для определения τ_мax надо про­водить исследование главных напряжений).

                                            5.7 Практикум

Вопросы для повторения

  1. Чем отличается абсолютная продольная и относительная продольная деформации?

2. Какова размерность относительной деформации?

3. Назовите все характеристики прочности материала. Сколько их?

4. Назовите характеристики пластичности?

5. Какие материалы считаются хрупкими? Какие из механических хара-ктеристик выступают в качестве порогового критерия?

6. Что называется модулем продольной упругости Е? Как сказывается величина Е на деформации бруса?

7. Как формулируется закон Гука?

8. Напишите формулы для абсолютной и относительной продольной де-формации.

9. Что называют коэффициентом Пуассона и в каких пределах он прини-мает значения для различных материалов?

10. Какое явление называют “наклёпом” (нагартовкой)?

11. Чем отличается диаграмма растяжения малоуглеродистой стали от диаграммы для высокоуглеродистой стали?

12. Что называют упругостью, пластичностью, ползучестью?

13. Чем отличаются диаграммы растяжения и сжатия для пластичных ма-териалов?

14.  Чем отличаются диаграммы растяжения и сжатия для хрупких материалов?

15.  О чём свидетельствует появления на образце линий Людерса-Чернова?

16. Что называют обобщённым законом Гука?

17. Как записывается условие пластичности Треска-Сен-Венана?

18. Как записывают в главных напряжениях условие пластичности Губера-Мизеса-Генки?

19. Какие материалы называют анизотропными?

20. Как изменяются механические свойства материала с повышением и по-

нижением температуры?

 

Тесты для повторения

 

1. Машинная диаграмма выражает зависимость:

(а) σ ~ ε;  (б) σ ~ l; (в) F ~ ε; (г) F ~ l.

Ответ: (г), поскольку диаграммный аппарат машины фиксирует зависимость абсолютного удлинения l от величины силы F в каждый момент нагружения.

 

 

2. Всегда ли напряжения, определяемые делением силы на начальную площадь, являются “истинными”?

 (а) всегда;                                   (б) только в зоне текучести;

 (в) только в зоне упрочнения;  (г) только в зоне малых упругих деформаций.

Ответ: (г), поскольку только при малых упругих деформациях изменение пло-

щади пренебрежимо мало.

 

3. Для каких материалов не следует вычислять условный предел текучести σ _0.2?

(а) для всех пластичных;

(б) для хрупких; 

(в) для пластичных материалов имеющих площадку текучести; 

(г) для всех материалов.

Ответ: (в), поскольку при наличии площадки текучести определяется физический предел текучести σ_у, в других же случаях определяют условный предел текучести – напряжение при котором относительная деформация составляет 0.2%.

 

4. При растяжении материал был нагружен таким образом, что произошло его упрочнение. Как изменились его свойства?

(а) увеличилась величина σ _u;

(б) увеличился σ _рr, а δ уменьшилось;

(в) увеличились прочностные и пластические характеристики;

(г) увеличились σ _рr и δ.

Ответ: (в), поскольку попав в зону упрочнения материал при повторном нагружении уже не фиксирует площадку текучести, его предел упругости по-высился до уровня напряжений “упрочнения”, однако его характеристики пластичности ухудшились. 

 

5.Какая из механических характеристик отличается при испытании нормаль-ных и коротких (l =5d) образцов?

   (а) σ_е;     (б) ψ;     (в) σ _u;    (г) δ.

Ответ: (г), поскольку зона местной текучести (образование утяжины перед разрывом) имеет примерно одинаковые размеры для любого образца, то отно-сительное удлинение δ у пятикратных (коротких) образцов получается более высоким.

 

6. Для свойств хрупкого материала характерна следующая зависимость (р -ра-стяжение, с - сжатие);

(а) σ_uр > σ_uс; (б) σ_ур < σ_ус; (в) σ_uр < σ_uс; (г) σ_ур > σ_ус. 

Ответ: (в), поскольку для хрупких материалов временноt сопротивление на сжатие существенно выше.

 

Контрольные тесты

 

1. Рабочая длина нормального образца больше его диаметра в:

(а) в 5 раз; (б) в 10 раз; (в) в 2 раза; (г) в 7 раз.

 

2. В пределах малых упругих деформаций полная деформация равна:

(а) сумме упругой и пластической;  (б) разности пластической и упругой;

(в) упругой;                                         (г) пластической.

 

3. В зоне упрочнения полная деформация равна:

(а) упругой;                                      (б) пластической

(в) сумме упругой и пластической; (г) разности пластической и упругой.

 

4. Какой из вариантов соотношения характеристик прочности является вер-ным?

               (а) σ_u > σ_рr > σ_у > σ_е;             (а) σ_pr > σ_е > σ_у > σ_u;

              (а) σ_u > σ_pr > σ_е > σ_у;                  (а) σ_u > σ_у > σ_е > σ_pr.

 

5. Если модуль продольной упругости первого материала ε ₁> ε ₂ – модуля вто-рого, то при одинаковых напряжениях в первом и втором материалах относи-тельные продольные деформации:

(а) ε₁  ε₂;  (б) ε₁ = ε₂;   (в) ε₁  ε₂;  (г) ε₁ < ε₂.

 

6. Отличаются ли модули продольной упругости материала при сжатии и при его растяжении?

              (а) не отличаются;                            (б) E_сж > E_раст; 

              (в) отличаются незначительно;       (г) E_сж < E_раст.

 

7. Равенство нулю коэффициента Пуассона (ν =0) свидетельствует о том, что:

(а) отсутствуют относительные продольные деформации;

(б) при наличии относительных продольных отсутствуют относительные попе-речные деформации;

(в) тело не нагружено;

(г) материал имеет очень низкий модуль продольной упругости.

 

8. Для хрупкого материала отношение временных пределов прочности при сжатии и при растяжении:

                   (а) равно 1;   (б) >1;   (в) <1;     (г) >>1.