Чистый изгиб с растяжением (сжатием)

Эту деформацию представим себе как сочетание косого изги­ба и чистого сжатия, при котором напряжения суммируются алге­браически:

Тождественную схему деформирования наблюдаем в случае приложе­ния продольной нагрузки F со смещением (эксцентриситетом) от­носительно центра тяжести поперечного сечения, в точке (z_F, y_F) (рис.11.2, а). Этот случай получил название внецентренного сжатия ¹.

Применив метод сечений, обна­ружим в любом поперечном сечении продольную силу N= – F и изгибающие моменты: М_у= Fz_F и  M_z= Fy_F. Таким образом, напряжения можно представить в другом виде:

После введения радиусов инерции формула принимает вид

 

Так как в точках нейтральной оси сечения σ _x = 0, то уравнение этой оси будет

        Рис. 11.2                                

 

                                            .

¹Все выводы, относящиеся к внецентренному сжатию бруса, могут быть применены и к случаю внецентреннего растяжения при замене сжимающей силы -F на +F.

После подстановки в уравнение этой прямой линии последо­вательно значений координат точки на оси у: z ₀ = 0 и у ₀ = a_у  и на оси z: у ₀ = 0 и z ₀ = a_z получаем отрезки:

Минусы указывают на то, что нулевая линия и точка приложения силы F (полюс) располагаются по разные стороны от центра тя­жести (рис.8.13, б).

Докажем следующую теорему: при перемещении полюса по прямой нулевая линия вращается около неподвижной точки.

Пусть f – f есть прямая, отсекающая отрезки b_у и b_z на осях координат (рис.11.3). Примем ее за нулевую линию, тогда коор­динаты соответствующего полюса – точки Q суть

Если, наоборот, силу приложить в точке на линии f – f, то согласно упомянутой выше теореме, напряжение в точке Q окажется равным ну-

лю. Совокупность нулевых линий для всех положений полюса на линии f – f есть пучок прямых, проходящих через точку Q.

 

                     Рис. 11.3                                 Рис.11.4

 

В частном случае, когда полюс движется по прямой, проходящей через центр тяжести, нулевая линия перемещается параллельно себе, ибо пропорциональное изменение координат у_F и z_F влечет также пропорциональное изменение отрезков а_y и а_z.

При у_F → 0 и z_F → 0 нулевая линия уходит в бесконечность, что соответствует наступлению чистого растяжения (сжатия). При у_F → ∞ и z_F → ∞   а_y → 0 и а_z → 0, что соответствует наступлению чистого косого изгиба.

В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если след силы F (или равнодействующей нескольких сил) находится внутри этой области, то нейтральная линия проходит за пределами сечения, и, следовательно, во всех его точках напряжения будут одного знака.

Покажем построение контура ядра сечения. Пусть нулевая линия совпадает со стороной I контура сечения, отсекая на осях у и z отрезки а_{y 1} и а_{z 1} (рис.11.4).

Тогда координаты точки 1 на контуре ядра сечения:

При совпадении нулевой линии с гранью II таким же спосо­бом находим координаты точки 2 (z_{F 2} и у_{F 2}) на контуре ядра се­чения. При вращении нулевой линии вокруг вершины А соответст­вующая ей точка приложения силы F перемещается вдоль отрезка 1–2. Контур ядра сечения будет многоугольником, число сторон которого равно числу сторон сечения бруса.

Читателю предлагается установить, что для прямоугольного сечения с размерами b и h ядро сечения имеет форму ромба с ди­агоналями, равными b/ 3 и h/ 3, а для круга радиусом r − концен­трический круг радиусом r/ 4.

Зная контур ядра сечения, можно определить, будут ли на­пряжения при заданном положении силы F иметь одинаковые или разные знаки в пределах поперечного сечения бруса. Это важно знать для материалов, не обладающих одинаковой прочностью на растяжение и сжатие. Такими являются бетон, чугун, кирпичная кладка и др.

 

11.4. Изгиб с кручением брусьев круглого сечения

Такое сочетание внутренних силовых факторов характерно при расчете валов. Задача является плоской, поскольку понятие «косой изгиб» для бруса круглого поперечного сечения, у которого любая центральная ось является главной- неприменимо. В общем случае действия внешних сил такой брус ис-пытывает сочетание следующих видов деформации: прямого поперечного изгиба, кручения и центрального растяжения (сжатия). На рис. 11.5 показан брус, нагруженный внешними силами, вызывающими все четыре вида дефор-мации.

Эпюры внутренних усилий позволяют выявить опасные сечения, а эпюры напряжений – опасные точки в этих сечениях. Касательные напряжения от поперечных сил достигают своего максимума  на оси бруса и незначительны для бруса сплошного сечения и ими можно пренебречь, по сравнению с касательными напряжениями от кручения, достигающих своего максимума в периферийных точках (точка в).

Опасным является сечение в заделке, где одновременно имеют большое значение продольная и поперечная силы, изгибающий и крутящий моменты.

                                                                    

                                                      Рис. 11.5

Опасной точкой в этом сечении, будет точка, где σ_х и τ_ху достигают значитель-ной величины (точка В). В этой точке действует наибольшее нормальное на-пряжение от изгиба  и касательное напряжение от кручения , а также нормальное напряжение от растяжения

Определив главные напряжения по формуле:

                                        σ_гл=

находим                          σ_red=

(при использовании критерия наибольших касательных напряжений m = 4, при использовании критерия удельной энергии изменения формы m = 3).

Подставив выражения σ_α и τ_ху, получаем:

 

                           σ_red=

 

 

или с учётом того, что W_р=2 W_z, A=  (см. 10.4),

                               σ_red=

В случае, если вал испытывает изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, то в формулу вместо М_z надо подставить M_tot=  

Приведенное напряжение σ_red не должно превышать допускаемого напряжения σ_adm, определённого при испытаниях при линейном напряжённом состоянии с учётом коэффициента запаса прочности. При заданных размерах и допускаемых напряжениях выполняют поверочный расчёт, Размеры необхо-димые для обеспечения безопасной прочности находят из условия                    

                                 W_z=