2020-07-12
140
Синхронизация процессов – приведение двух или нескольких процессов к такому их протеканию, когда определённые стадии разных процессов совершаются в определённом порядке, либо одновременно.
Фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ) — система автоматического регулирования, подстраивающая фазу управляемого генератора так, чтобы она была равна фазе опорного сигнала, либо отличалась на известную функцию от времени.
Алгоритм Витерби – алгоритм поиска наиболее подходящего списка состояний (называемого путём Витерби), который получает наиболее вероятную последовательность произошедших событий.
Модифицированные функции Бесселя — это функции Бесселя от чистого мнимого аргумента.
Это уравнение называется модифицированным уравнением Бесселя .
Дисперсия фазы – это мера неустойчивой синхронизации на выходе генератора, управляемого напряжением, вследствие шума на входе.
Условие задачи:
Витерби показал, что функция плотности вероятности выходной фазы контура ФАПЧ первого порядка, возмущенная белым гауссовым шумом, описывается следующим выражением.
Покажите, что приведенное выше 
действительно является функцией плотности вероятности, и вычислите среднее и дисперсию 
.
Дано:
,
где - функция плотности вероятности;
– нормированное отношение сигнал/шум
контура,
– модифицированная функция Бесселя
первого рода нулевого порядка, взятая в точке .
Найти:
1) Показать, что - является функцией плотности вероятности.
2) Среднее 
-?
3) Дисперсию 
-?
Решение:
1) Для решения данной задачи будем использовать основную формулу, приведенную ниже:
где 
– нормированное отношение (на энергию единичного сигнала) сигнал/шум контура,
– модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке .
2) Для дальнейшего вычисления будем использовать измененную функцию Бесселя в интегральной форме, для нулевого порядка. Измененная функция Бесселя выражается следующей формулой:
где 
- модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке 
.
3) Для доказательства, что функция - является функцией плотности вероятности, рассмотрим ее основные свойства, которые приведены ниже:
1. Плотность вероятностей принимает положительные значения:
Это свойство следует из определения первой производной от функции распределения, которая в свою очередь является неубывающей функцией.
2. Условие нормирования случайной величины 
:
4) Докажем основные свойства функции плотности вероятности.
1. Плотность вероятностей принимает положительные значения, так как согласно условию задачи в формуле (1): 
. Следует, и сама функция будет неотрицательной функцией, 
.
2. Условие нормирования случайной величины также выполняется:
Интеграл 
является единицей (единством), когда интегрирован в пределах 
.
Выполняются оба основных свойства, поэтому функция - является функцией плотности вероятности.
5) Значение 
равно нулю в случае, если среднее такжеравно нулю, что видно из формулы приведенной ниже:
где – среднее от функции ;
– скачок фазы.
6)Используя формулу (3), определяем формулу для вычисления дисперсии сдедующим способом:
где – дисперсия;
– нормированное отношение (на энергию единичного сигнала) сигнал/шум контура,
– модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке .
7) Преобразовывая формулу (2), получаем следующее выражение:
8) Объединяя выражения (4) и (5), находим конечную формулу для вычисления дисперсии:
Ответ:
1) 
– действительно является функцией плотности вероятности.
2) Среднее от равно 
.
3) Дисперсия равна 
.
Заключение
Для решения задачи мы использовали алгоритм декодирования, основанный на принципе максимального правдоподобия, описываемый формулой Витерби.
Витерби определил, что для контура ФАПЧ первого порядка (т.е. контурный фильтр) — это просто цепь короткого замыкания, или, что эквивалентно, f(t) = d (t) функция плотности вероятности 
имеет следующий вид.
Здесь 
— нормированное (на энергию единичного сигнала) отношение сигнал/шум контура, а I 0(
) — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, взятая в точке 
.
