Глава 11. Уплотнение и множественный доступ. Вариант 7

Ресурс связи (communications resource — CR) представляет время и ширину полосы, дос­тупные для передачи сигнала в определенной системе.

При исполь­зовании термина уплотнение требования пользователя к совместному использованию ре­сурса связи постоянны либо (в большинстве случаев) изменяются незначительно.

Применение множественного доступа, как правило, требует удаленного совместного использования ресур­са, как, например, в случае спутниковой связи.

ALOHA – система, разработанная в 1971 году Гавайским университетом. В данном случае спутник применялся для связи нескольких университетских компью­теров посредством протокола произвольного доступа. Принцип работы системы включает в себя следующие режимы.

1. Режим передачи

2. Режим ожидания

3. Режим повторной передачи

4. Режим истечения времени ожидания

Распределение Пуассона — вероятностное распределение дискретного типа, моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

 

Условие задачи:

 а) Докажите, что уравнение (11.24) является действительной функцией плотности вероятности дискретной случайной переменной.

б) Найдите среднее значение дискретной случайной переменной, функция плотности, вероятности которой описывается уравнением (11.24).

в) Докажите, что результат, полученный в п.б, не противоречит утверждению, что  - средняя скорость поступления пакетов.

Дано:

(11.24),

где  – вероятность поступления  новых сообщений;

 – количество новых сообщений;

 – время в течении которого поступают  новых сообщений;

— средняя частота поступления сообщений.

а) Доказать:

 Уравнение (11.24) - является действительной функцией плотности вероятности дискретной случайной переменной.

б) Найти:

Среднее значение дискретной случайной переменной  -?

в) Доказать:

 – средняя скорость поступления пакетов.

Решение:

а) Распределение Пуассона описывается формулой приведенной ниже:

1) Уравнение (1) является действительной функцией плотности вероятности дискретной случайной переменной, если выполняется следующее условие:

2) Для доказательства выражения (2) просуммируем левую и правую часть уравнения (1), вынося постоянную  за знак суммы в правой части уравнения. Операция суммирование приведена ниже:

Выражение (4) удовлетворяет выражению (2), что и требовалось доказать.

Выражение (5), описанное ниже, является рядом Тейлора:

б) Для определения среднего значения дискретной случайной переменной воспользуемся следующим преобразованием основной формулы (1):

в) Так как  – это вероятность поступления   новых пакетов (со­общений) в течение секунд,  – это среднее число   новых пакетов, которые прибывают в течение  секунд. То, преобразовывая формулу (6), получаем среднюю скорость прибытия пакетов, описываемую значением - и равную:

Ответ:

а) Уравнение (1) является действительной функцией плотности вероятности дискретной случайной переменной:

 

б)   Среднее значение дискретной случайной переменной .

в) , где  – средняя скорость поступления пакетов.

 

Заключение

Основной формулой, используемой для решения задачи, является формула, которая описывает распределение Пуассона.

Статистика получения сообщений независимыми пользователями системы связи часто моделируется пуассоновским процессом. Вероятность поступления К новых со­общений в течение τ секунд описывается распределением Пуассона.

               

где λ — средняя частота поступления сообщений.