Примеры теорем неевклидовой геометрии Римана. Площадь треугольника и многоугольника

Неевклидова геометрия Римана имеет много общего с обычной геометрией Евклида. Так, например, здесь также справедливы теоремы о сравнительной длине сторон треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности), о свойствах равнобедренного треугольника, о замечательных точках треугольника. Справедливы также и признаки равенства треугольников. Только наряду с "третьим признаком равенства треугольников" (два треугольника равны, если стороны одного соответственно равны сторонам другого) в неевклидовой геометрии Римана имеет место еще так называемый "четвертый признак равенства треугольников": два треугольника равны, если углы одного из них соответственно равны углам второго. Первый и второй признаки равенства треугольников доказываются так же, как и в случае евклидовой геометрии: с использованием "неевклидовых движений", роль которых играют повороты неевклидовой плоскости Римана вокруг точки и симметрии относительно прямой (см. Рис. 4).

Рис. 4

Третий признак равенства треугольников также может быть доказан с помощью обычного приема ‒ с использованием теорем о равнобедренном треугольнике, вывод которых не составляет труда (см. Рис. 5). Наконец, четвертый признак равенства треугольников получается из третьего с помощью принципа двойственности.

Рис. 5

Теоремы о точке пересечения биссектрис треугольника и о точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника в их серединах, доказываются в точности так же, как в геометрии Евклида. Первая из этих точек является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 6, а), а вторая ‒ центром описанной окружности (см. Рис. 6, б).

Рис. 6

До сих пор мы больше говорили о тех теоремах неевклидовой геометрии Римана, которые аналогичны известным теоремам евклидовой геометрии. Для того чтобы дать представление о различии этих двух геометрий, остановимся на вопросе о площади многоугольника в неевклидовой геометрии Римана. Вспомним прежде всего, что в этой геометрии сумма углов треугольника всегда больше . Отсюда можно вывести, что сумма углов n -угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше . В самом деле, каждый n -угольник можно разбить на  треугольников непересекающимися диагоналями, это относится как к неевклидовой геометрии Римана, так и к обычной геометрии Евклида. Случай  изображен на Рис. 7.

Рис. 7

При этом сумма углов n -угольника равна сумме всех углов всех  треугольников, отсюда и вытекает, что сумма углов n -угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше .

Задача измерения площадей состоит в том, чтобы сопоставить каждому многоугольнику некоторое число  ‒ площадь этого многоугольника ‒ с соблюдением следующих требований:

a) положительность: для любого многоугольника  (содержащего внутренние точки) ;

b) инвариантность: если многоугольники и равны, то ;

c) аддитивность: если многоугольник разбит на неперекрывающиеся части и , то

d) нормировка: для многоугольника , признанного "единичным", .

Такое аксиоматическое определение площади является осмысленным лишь в том случае, если действительно существует функция , сопоставляющая каждому многоугольнику число  с указаными свойствами, и притом такая функция имеется лишь одна. В неевклидовой геометрии Римана также существует теорема о том, что условия  однозначно определяет  площадь. Впрочем, существование функции будет ясно из дальнейшего, так как мы укажем угловой избыток, удовлетворяющую условиям . Единственность же позволит утверждать, что указанная величина, угловой избыток как раз и является площадью, поскольку, кроме нее, не существует никакой другой функции, удовлетворяющей условиям . Таким образом, единственность является важным элементом при построении теории площадей, и если мы опускаем здесь доказательство единственности, то не из-за его малой значимости, а лишь из-за нежелания перегружать статью.

Очень просто указать число, удовлетворяющее наиболее важным условиям  в качестве него можно взять угловой избыток в рассматриваемого n -угольника , то есть превышение суммы его углов над ;

здесь  углы n -угольника, измеренные в радианной мере. В самом деле, поскольку равные многоугольники и имеют одинаковые углы, то и избытки их, очевидно, равны:

;

таким образом, свойство инвариантности выполнено.

В евклидовой геометрии аддитивность углового избытка никак не может быть использована для построения теории площадей: она является просто следствием того обидного с точки зрения наших настоящих интересов обстоятельства, что угловой избыток каждого многоугольника равен в евклидовой геометрии нулю. Однако в неевклидовой геометрии Римана угловой избыток положителен, то есть удовлетворяет условию . Таким образом, для того чтобы получить величину, удовлетворяющую всем четырем условиям , надо лишь нормировать угловой избыток, умножив его на постоянный множитель пропорциональности  с тем, чтобы соблюдалось и условие . При этом выбор числа существенно зависит от выбора единицы измерения площадей.

Выберем эту единицу так, чтобы треугольник с тремя прямыми углами имел площадь, равную его угловому избытку, то есть равную , при этом площадь всей сферы будет равна .

Таким образом, радиус сферы принимается здесь за 1, а площадь всей неевклидовой плоскости Римана равна . При этом будем иметь , то есть площадь каждого многоугольника будет равна его угловому избытку: