2020-07-12
330
Неевклидова геометрия Римана имеет много общего с обычной геометрией Евклида. Так, например, здесь также справедливы теоремы о сравнительной длине сторон треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других и больше их разности), о свойствах равнобедренного треугольника, о замечательных точках треугольника. Справедливы также и признаки равенства треугольников. Только наряду с "третьим признаком равенства треугольников" (два треугольника равны, если стороны одного соответственно равны сторонам другого) в неевклидовой геометрии Римана имеет место еще так называемый "четвертый признак равенства треугольников": два треугольника равны, если углы одного из них соответственно равны углам второго. Первый и второй признаки равенства треугольников доказываются так же, как и в случае евклидовой геометрии: с использованием "неевклидовых движений", роль которых играют повороты неевклидовой плоскости Римана вокруг точки и симметрии относительно прямой (см. Рис. 4).
Рис. 4
Третий признак равенства треугольников также может быть доказан с помощью обычного приема ‒ с использованием теорем о равнобедренном треугольнике, вывод которых не составляет труда (см. Рис. 5). Наконец, четвертый признак равенства треугольников получается из третьего с помощью принципа двойственности.
Рис. 5
Теоремы о точке пересечения биссектрис треугольника 
и о точке пересечения перпендикуляров, восстановленных к сторонам треугольника в их серединах, доказываются в точности так же, как в геометрии Евклида. Первая из этих точек является центром вписанной в треугольник окружности (см. Рис. 6, а), а вторая ‒ центром описанной окружности (см. Рис. 6, б).
Рис. 6
До сих пор мы больше говорили о тех теоремах неевклидовой геометрии Римана, которые аналогичны известным теоремам евклидовой геометрии. Для того чтобы дать представление о различии этих двух геометрий, остановимся на вопросе о площади многоугольника в неевклидовой геометрии Римана. Вспомним прежде всего, что в этой геометрии сумма углов треугольника всегда больше 
. Отсюда можно вывести, что сумма углов n -угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше 
. В самом деле, каждый n -угольник можно разбить на 
треугольников непересекающимися диагоналями, это относится как к неевклидовой геометрии Римана, так и к обычной геометрии Евклида. Случай 
изображен на Рис. 7.
Рис. 7
При этом сумма углов n -угольника равна сумме всех углов всех треугольников, отсюда и вытекает, что сумма углов n -угольника в неевклидовой геометрии Римана всегда больше .
Задача измерения площадей состоит в том, чтобы сопоставить каждому многоугольнику 
некоторое число 
‒ площадь этого многоугольника ‒ с соблюдением следующих требований:
a) положительность: для любого многоугольника (содержащего внутренние точки) 
;
b) инвариантность: если многоугольники 
и 
равны, то 
;
c) аддитивность: если многоугольник разбит на неперекрывающиеся части и , то 
d) нормировка: для многоугольника 
, признанного "единичным", 
.
Такое аксиоматическое определение площади является осмысленным лишь в том случае, если действительно существует функция 
, сопоставляющая каждому многоугольнику число с указаными свойствами, и притом такая функция имеется лишь одна. В неевклидовой геометрии Римана также существует теорема о том, что условия 
однозначно определяет 
площадь. Впрочем, существование функции будет ясно из дальнейшего, так как мы укажем угловой избыток, удовлетворяющую условиям . Единственность же позволит утверждать, что указанная величина, угловой избыток как раз и является площадью, поскольку, кроме нее, не существует никакой другой функции, удовлетворяющей условиям . Таким образом, единственность является важным элементом при построении теории площадей, и если мы опускаем здесь доказательство единственности, то не из-за его малой значимости, а лишь из-за нежелания перегружать статью.
Очень просто указать число, удовлетворяющее наиболее важным условиям 
в качестве него можно взять угловой избыток в 
рассматриваемого n -угольника , то есть превышение суммы его углов над ;
здесь 
углы n -угольника, измеренные в радианной мере. В самом деле, поскольку равные многоугольники и имеют одинаковые углы, то и избытки их, очевидно, равны:
;
таким образом, свойство инвариантности выполнено.
В евклидовой геометрии аддитивность углового избытка никак не может быть использована для построения теории площадей: она является просто следствием того обидного с точки зрения наших настоящих интересов обстоятельства, что угловой избыток каждого многоугольника равен в евклидовой геометрии нулю. Однако в неевклидовой геометрии Римана угловой избыток положителен, то есть удовлетворяет условию 
. Таким образом, для того чтобы получить величину, удовлетворяющую всем четырем условиям , надо лишь нормировать угловой избыток, умножив его на постоянный множитель пропорциональности 
с тем, чтобы соблюдалось и условие 
. При этом выбор числа существенно зависит от выбора единицы измерения площадей.
Выберем эту единицу так, чтобы треугольник с тремя прямыми углами имел площадь, равную его угловому избытку, то есть равную 
, при этом площадь всей сферы будет равна 
.
Таким образом, радиус сферы принимается здесь за 1, а площадь всей неевклидовой плоскости Римана равна 
. При этом будем иметь 
, то есть площадь каждого многоугольника будет равна его угловому избытку:
