Геометрия Лобачевского

Геометрия Лобачевского не имеет столь простой и естественной интерпретации, как сферическая геометрия. Для геометрии Лобачевского известно несколько моделей.

В начале XX века почти одновременно несколько выдающихся математиков того времени — Карл Гаусс из Германии, Я. Бойяи из Венгрии и Николай Иванович Лобачевский из России пришли к мысли о существовании другой, неевклидовой геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Поскольку Н. И. Лобачевский первым высказал эту идею в 1826 году, новая неевклидова геометрия была названа в честь его имени.

Геометрия Лобачевского имеет лишь одно отличие от евклидовой — аксиома параллельности заменяется на ее отрицание — аксиому параллельности Лобачевского. Она так же нашла широчайшее применение в современной науке. Сам Николай Иванович Лобачевский использовал свою геометрию для вычисления определенных интегралов.

В теории функций комплексного переменного геометрия Лобачевского способствовала успешному построению теории автоморфных функций. В этой теории связь с геометрией Лобачевского была основой для исследований Пуанкаре. По словам Анри Пуанкаре «неевклидова геометрия есть ключ к решению всей задачи».

Кроме того, геометрия Лобачевского стала использоваться в теории чисел, а именно, в ее геометрических методах, так называемой «геометрии чисел». Ученые также установили тесную связь геометрии Лобачевского с кинематикой — специальной теорией относительности. В основе этой связи лежит равенство, выражающее закон распространения света.

В общей теории относительности геометрия Лобачевского также нашла свое место. Допуская тот факт, что распределение масс материи во Вселенной равномерно (это приближение в космических масштабах допустимо), то при определенных условиях пространство имеет геометрию Лобачевского. Тем самым было доказано предположение Лобачевского о новой геометрии как возможной теории пространства.

Теорема 1[1]. Пусть выпуклый четырехугольник на плоскости Лобачевского (см. Рис. 8). Тогда следующие два свойства эквивалентны:

(i)

(ii) .

Рис. 8

Заметим, что каждое из свойств (i) и (ii) равносильно тому, что четырехугольник является трапецией с основаниями и . Вычитая из первого равенства второе, получим, что справедлива следующая лемма.

Лемма 1[1]. Для трапеции справедливо соотношение:

В силу формулы Гаусса-Бонне [1] площади треугольников и находятся по формулам:

;

Учитывая утверждение леммы и равенство вертикальных углов , получим, что .

Отсюда непосредственно заключаем, что имеют место равенства площадей . Обозначим через площадь гиперболического треугольника с длинами сторон . Переписывая полученные два равенства в терминах длин сторон, установим, что справедливо следствие.

Следствие 1.1. Для площадей треугольников с соответствующими сторонами выполнены равенства:

(2)

Согласно работе [3] справедлива следующая формула для площади гиперболического треугольника со сторонами :

(3)

Положим и . Подставляя равенство в уравнение (3), получим, что система уравнений (2) эквивалентна следующей

(4)

Предложение 1. Длины сторон и диагонали трапеции связаны соотношениями

(5)

Из данной системы уравнений находятся выражения для длин диагоналей трапеции

	(6)
	(7)

Сформулированное предложение потребуется для доказательства теоремы о площади трапеции.

Теорема 2[5]. Площадь гиперболической трапеции со сторонами находится из соотношения

Евклидов вариант формулы, выражающий квадрат площади трапеции через ее стороны находится элементарными вычислениями из геометрических соображений и имеет вид: