ПР. 14. В следующих 5 примерах с решениями и указаниями

14.1. Сколькими способами можно распределить 5 карандашей среди 30 учащихся, если каждому ученику давать не более одного карандаша?

а) карандаши одинаковые;

б) карандаши разные.

Решение:

а)  т.к. карандаши одинаковые, то не важно, какой именно карандаш получит ученик, а важно, кому из учеников достанется карандаш, поэтому выбираем 5 человек из 30 без учёта порядка, т.е. используем сочетания из 30 по 5 - ;

б)   если карандаши разные, то важно не только какой именно карандаш получит ученик, но и кому из учеников достанется карандаш, поэтому выбираем 5 человек из 30 с учётом порядка, т.е. используем размещения из 30 по 5- .

Ответ: а) ; б) .

14.2.  Сколькими способами 2 человека могут поделить между собой 10 различных предметов по 5 предметов каждому?

Выбрали 5 предметов (как?), после чего отдали их любому из двух человек(сколько возможностей?).

Ответ: .

14.3.   1) Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на две команды по 5 человек, если два спортсмена пожелали обязательно играть в первой команде?

В первой команде уже есть 2 человека, добавим трех спортсменов в первую команду, или выберем вторую команду из оставшихся 8.

Ответ: .

      2) Сколькими способами 10 спортсменов могут разделиться на две команды по 5 человек, если два спортсмена пожелали играть обязательно в разных командах?

Разделим 8 спортсменов на группы по четыре человека (как?).

Распределим двух спортсменов в разные команды (сколькими способами?).

Дополним команды до 5 человек выбранной четверкой (сколькими способами?).

Ответ: .

14.4.   По списку в классе 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выделить группу из трех человек для посещения заболевшей одноклассницы. Сколькими способами это можно сделать, если:

а) все члены группы должны быть девочками;

б) все члены группы должны быть мальчиками;

в) в группе должны быть 1 девочка и 2 мальчика;

г) в группе должны быть 2 девочки и 1 мальчик?

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

14.5.    Из трех математиков и пяти филологов требуется выбрать комиссию в составе четырех человек при условии, что в комиссию войдет хоть один математик. Сколькими способами это можно сделать?

        Комиссия может иметь следующие составы:

- один математик и три филолога.   * = 3*10=30.

- два математика и два филолога.    * = 3*10=30.

- три математика и один филолог.   * = 1*5=5.

         Т.о., по правилу суммы, всего способов 30+30+5=65.