Учебная КАРТА практического занятия №15

 

Наименование учебной дисциплины

  ОУДП.12 Математика

Наименование темы учебной дисциплины Тема 3.5 Измерения в геометрии

Тема практического занятия:

Нахождениеотношений площадей поверхностей и объемов подобных многогранников

                                        Основные понятия

Определение. Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно равные многогранные углы и соответственно подобные грани. Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными.

Теорема. Поверхности подобных многогранников относятся, как квадраты сходственных рёбер.

Теорема. Объёмы подобных многогранников относятся, как кубы сходственных рёбер.

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение площади любой её грани к площади исходной соответствующей ей грани будет равно k².

То есть, если мы увеличим все рёбра пирамиды в k раз, то отношение объёма полученной пирамиды к объёму исходной будет равно k³.

Задача1.

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?

Тетраэдр это пирамида, все грани которой равносторонние треугольники.

Данная пирамида и пирамида полученная увеличением всех её рёбер в 16 раз будут являться подобными, коэффициент подобия соответственно будет равен 16.

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. То есть, как уже сказано, объём полученной пирамиды равен произведению куба коэффициента подобия и объёма исходной пирамиды:

Определим во сколько раз увеличится объём, найдём отношение объёмов:

Таким образом, если все ребра увеличить в 16 раз, то объём увеличится в 4096 раз.

Задача 2.

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?

объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания и высоты:

S – площадь основания

h – высота пирамиды

При увеличении высоты в 12 раз, объем пирамиды также увеличится в 12 раз (это прямолинейная зависимость):

Ответ: 12

Задача 3.

Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если рёбра тетраэдра увеличить в 5 раз

Известно, что при увеличении (уменьшении) линейных размеров фигуры в k раз получается подобная ей фигура, их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

k – это есть коэффициент подобия

В данной задаче k=5.

То есть, с использованием свойства подобия задача решается устно:

 это означает, что площадь поверхности всей пирамиды также увеличится в 25 раз.

Ответ: 25

Задача 4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?

 Октаэдр это многогранник с восьмью граниями, все гарани это правильные треугольники.

При увеличении рёбер в три раза каждая грань полученного октаэдра будет подобна соответствующей ей грани исходного. Площадь каждай грани увеличится в 3² раз, то есть в 9 раз. Значит и площадь всей поверхности также увеличится в 9 раз.

Практические задания:   1.Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его реб ра увеличить в 12 раз?

2.Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в 5 раз

3.Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если рёбра тетраэдра увеличить в 6 раз

4. Во сколько раз увеличится площадь поверхности пирамиды, если все ее ребра увеличить в 4 раза.

5.Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 2 раза.

6.Во сколько раз увеличится объем октаэдра, если все его ребра увеличить в 4 раза