Наименование учебной дисциплины

ОУДП.12 Математика

Наименование темы учебной дисциплины Тема 2.3

  Интеграл и его приложение

Тема практического занятия:

Решение задач на применение интеграла для вычисления физических величин.

Основные понятия

Путь, пройденный точкой.

Если точка движется прямолинейно и ее скорость υ =f (t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени

  t1 ≤ t ≤ t2, вычисляется по формуле

                                                          .

 

Пример. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.1 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 10с.

Решение. Применяя формулу , находим 

.

Пример. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с от начала движения.

Решение. Согласно формуле , имеем

(м).

Итак, за 4 с точка прошла 244 м.

 

Пример. Скорость движения изменяется по закону  м/с.

Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Решение.  (м).

Работа, затраченная на растяжение или сжатие пружины.

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть x – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда F=kx, где k- коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Работа на участке Dx (Dx =x₁-x₀) выразится формулой DA»FDx, а вся затраченная работа – формулой - A»SFDx или A»SkxDx. Переходя к пределу при Dx®0, получим истинную величину работы

Пример. Какую работу совершает сила в 10 H при растяжении пружины на 2 см?

Решение.  Использую условие, находим k=10/0,02=500(H/м), то есть F=500x. Согласно формуле, получим

 

 

=0.1(Дж)

Практические задания

Задание №1. Вычислить путь, пройденный телом

1. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.2 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 10с.

 

2. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 2 с. от начала движения.

 

3. Скорость движения изменяется по закону  м/с.

Найти длину пути, пройденного телом за 4-ю секунду его движения.

 

4. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.2 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 2-ю с.

 

5. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 3 с. от начала движения.

 

Задание №2. Вычислить  совершенную работу.

1. Сила в 60 H растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

2. Какую работу совершает сила 8 Н при растяжении пружины на 6см?

3. Сила в 40 H растягивает пружину на 0,04м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,02 м?

4. Пружину в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила в 9,8 H растягивает её на 2 см. Определить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 до 35 см.

5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила в 50 H растягивает её на 1 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от 22 до 32 см?