2020-07-12
152
К настоящему времени выполнены многие исследования, посвященные проблемам структурообразования радиационно-защитных композитов, синтеза их основных технических свойств и деструктивных процессов в различных условиях эксплуатации. В отдельный раздел можно выделить исследования, направленные на определение влияния различных рецептурно-технологических факторов на реологические свойства мастик, растворов и бетонов. Как правило, исследователи ограничиваются представлением экспериментальных данных и математических моделей влияния отдельных рецептурных факторов на предельное напряжение сдвига смеси. Однако среди них практически нет обобщающих работ, в которых рассматривались бы вопросы комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов. Исключение составляют работы В.А. Вознесенского по моделированию реологических параметров смесей на основе минеральных связующих с помощью экспериментальных полиномиальных моделей, справедливых для некоторых частных случаев [1, 2].
|
|
|
Обобщенные модели влияния содержания дисперсной фазы на реологические свойства смесей представлены уравнениями Эйнштейна, Муни, Гута-Смолвуда и др. Эти модели достаточно точно позволяют прогнозировать влияние количества дисперсной фазы в узких диапазонах изменения степени наполнения композитов. При этом влияние размеров частиц дисперсной фазы, а следовательно, и связность смеси не учитываются.
Наиболее значительный вклад в теорию вязкого течения дисперсных систем был внесен работами Генри Эйринга и Г.М. Бартенева [3]. Разработанная ими молекулярно-кинетическая теория течения дисперсных систем основана на гипотезе о перемещении слоя частиц в направлении действия внешней силы и учитывает структурные изменения системы при ее разрушении. Она справедлива для систем, частицы которой способны к диффузионному перемещению в дисперсионной среде.
По мнению авторов [4], исследование комплексного влияния различных факторов на реологические свойства композитов целесообразно проводить с использованием методов теории управления и системного анализа – установление обобщенной зависимости изучаемого свойства от всего комплекса факторов, рассматривая композит как сложную техническую систему.
На практике это сводится к аппроксимации экспериментальных данных функцией многих переменных заданного вида и получение обобщенной математической модели.
В общем случае задача аппроксимации (приближения функций) формулируется для функции f (x) = f (x1, x2,..., xn) векторного аргумента, заданного на некоторой области.
Самой простой и грубой является ступенчатая аппроксимация. Она применяется как при мелкой сетке в пространстве аргумента x (то есть по существу при табличном способе задания функции), так и при специальном виде самой функции.
|
|
|
Задача приближения функции нескольких переменных решается на основе метода наименьших квадратов, представляя ее суммой функций одной переменной.
Для функции двух переменных f (x1, x2) с прямоугольной областью изменения аргументов:
соответствующее выражение имеет вид
Решение задачи получается ввиде
Где
Задача приближения функции двух аргументов посредством произведения двух одномерных аргументов может быть сведена к только что рассмотренной. Действительно, если вместо исходной функции f (x1, x2) рассмотреть функцию ϕ(x1, x2) = ln f(x1, x2), выполнить приближение этой функции суммой ϕ1(x1) + + ϕ2(x2), а затем образовать функции
При переходе к многомерным процессам задача аппроксимации существенно усложняется. Известные в настоящее время методы многомерной аппроксимации менее эффективны, чем методы приближения одномерных функций. При этом трудоемкость вычислений с ростом размерности решаемых задач резко возрастает.
Приведем относительно простой способ приближения многомерных таблично заданных функций обобщенными многочленами частного вида. Ограничимся случаем двумерной аппроксимации. Пусть значения W(x, y) заданы в табл. 1.
Определим аппроксимирующий многочлен в виде
где fp(x), ϕp(y), p = 1, q – функции, выбранные из каких-то соображений; ap – неизвестные коэффициенты.
Для определения коэффициентов ap воспользуемся методом наименьших квадратов, то есть из условий минимума
приравнивая частные производные по ap нулю, получим для определения неизвестных
a1, a2,..., aq
систему уравнений [5]
В случае трехмерной аппроксимации для каждого z = zk, k = 1, l, значения
функции W (x, y, z) задаются в виде прямоугольной таблицы n × m(табл. 2).
Аппроксимирующий многочлен представляется в виде
где fp (x), ϕp(y), ψp(z), p = 1, q – функции, выбранные из каких-то соображений;
ap – неизвестные коэффициенты.
Применим метод наименьших квадратов.
Вычисляя частные производные по ap и приравнивая их нулю, получим систему уравнений (2), где:
Описанный способ аппроксимации легко распространяется и на функции с большим числом переменных.
Аппроксимирующему многочлену можно придать более общий, в сравнении с выражением (3), вид, например
Величины c α,β и bp системы (2) вычисляются по формулам:
где n – общее число точек, пронумерованных произвольным образом, причем
n ≥ q. В данном случае отпадает необходимость иметь прямоугольную таблицу
значений аппроксимируемой функции.
Более общее, в сравнении с уравнением (4), выражение для аппроксимирующего многочлена может быть представлено в виде
где m – число подлежащих определению параметров аппроксимации.
Определение параметров a 1, a 2, ..., am в общем случае можно осуществить поиском минимума
известными методами оптимизации.
При решении практических задач, как уже отмечалось, выбор вида аппроксимирующей функции во многом определяется интуицией экспериментатора. Однако есть и объективные критерии выбора вида аппроксимирующей функции.
Рассмотрим реологические свойства эпоксидных композитов специального назначения на примере определения аналитической зависимости предельного напряжения сдвига τ от объемной степени наполнения υ f и времени t по данным эксперимента, приводимым в табл. 3 и на рис. 1 и 2. Очевидно, что указанные факторы наиболее полно характеризуют интенсивность изменения структуры формирующегося композита, то есть степень «загустевания» материала.
|
|
|
