Нахождение области определения функций

Тема 1. Функция одной переменной: определение,

Способы задания. Построение графиков.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ и ПРИМЕРЫ

Определение функции

Определение. Пусть даны два числовых множества и .

Функцией, заданной на множестве , называется закон (правило) , по которому каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент .

Обозначение функции: ,

где – аргумент функции или независимая переменная,

– значение функции или зависимая переменная,

– закон соответствия,

– область определения функции,

– область значений функции.

Под областью определения функции понимается множество значений аргумента , при которых функция имеет смысл.

Областью значений функции является множество значений переменной , которые принимает функция в ее области определения.

Нахождение области определения функций

Для нахождения области определения функции необходимо записать математически условия для , при которых функция имеет смысл, или исключить из множества всех действительных чисел те значения аргумента , при которых функция не имеет смысл.

Если есть сумма, разность или произведение функций , , …, , то областью определения функции является пересечение областей определений этих функций:

Пример 1. Найти области определения функций:

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Решение.

1. . Это - линейная функция, она определена при любых действительных значениях . Значит, область определения .

2. .В числителе нет «особенностей», а з наменатель дроби должен быть не равен нулю: . Найдем точки , при которых знаменатель равен нулю: , Полученное уравнение имеет два корня: , .

Исключим эти точки из числового промежутка :

Ответ: .

3. . Область определения данной функции – это множество значений , при которых подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля, .

Разложим квадратный трёхчлен на множители по формуле , где - корни квадратного уравнения .

, ,

, .

Неравенство примет вид .

Отметим найденные корни и на числовой оси. Определим, на каких интервалах , , выполняется неравенство . Подставим какое-либо значение в это неравенство:

при получим: ,

при получим: .

Точки и не входят в решение неравенства (см. рис. 1).

Рис. 1. Графическое представление решения примера 3

На и выполняется . Значит, область определения

Ответ: .

4. . Данная функция является суммой функций . Значит, ее область определения является пересечением (общей частью) областей определения каждой функции: .